14. Постановка транспортной задачи как задачи линейного программирования. Закрытая и открытая модель транспортной задачи. Приведите примеры.

Ответ: Пусть имеется m поставщиков и n потребителей. Мощности поставщиков равны соответственно a₁,…,a_m, спросы потребителей – b₁,..,b_n. Обозначим через c_ij затраты на перевозку оной единицы груза из пункта A­_I в B_j. X_ij – объем перевозки. Найти объем перевозок для каждой пары поставщик-потребитель, чтобы:

1) мощности всех поставщиков были реализованы:

2) спрос всех потребителей был удовлетворен:

3) суммарные затраты на все перевозки были минимальны: min

Транспортная задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель – закрытой, если мощность потребителей равна мощности поставщиков. Иначе, задача называется задачей с неправильным балансом( ), а ее модель – открытой.

15. Обоснуйте метод потенциалов с помощью основных теорем двойственности.

Ответ: Рассмотрим закрытую транспортную задачу, модель которой имеет вид:

min

Составим двойственную к данной задачу.

Пусть u_i – переменная двойственной задачи, соответствующая системе , мо – переменная, соответствующая .

u_i+v_j≤c_ij ; ,

По второй теореме двойственности для оптимального решения выполняется равенство (u_i*+v_j*-с_ij)x_ij*=0. Следовательно, если x­_ij*>0, то u_i*+v_j*-с_ij=0, т.о., для занятых клеток таблицы должно выполняться уравнение u_i*+v_j*-с_ij=0

16. Метод искусственного базиса. Как на основании применения этого метода можно сделать вывод о существовании допустимого базиса? Приведите примеры.

Ответ: Если в исходной системе ограничений не выделен допустимый базис, как того требует алгоритм симплекс-метода, для его нахождения можно решить вспомогательную задачу, которая ставится следующим образом.

Пусть исходная система нетривиальных ограничений задана в общем виде

где b_i≥0, i=1,…,m. Выполнения последнего условия всегда можно добиться, умножив уравнения на −1. Введем в систему искусственные переменные

так что новая система имеет допустимое базисное решение (0,…,0,b₁,…,b_m)∈R^n+m. Рассмотрим вспомогательную целевую функцию F(x₁,…,x_n;y₁,…,y_m)=y₁+…+y_m и решим симплекс-методом задачу

F=y₁+…+y_­mmin

Если последняя задача имеет решение, то возможны два случая:

1. Если minF>0 , то система ограничений не имеет допустимого базиса и задача не имеет решений.

2. Если minF=0 , то система ограничений имеет неотрицательное базисное решение. Чтобы получить систему ограничений, эквивалентную исходной, но с выделенным допустимым базисом, необходимо, чтобы в заключительной симплекс-таблице все искусственные переменные были свободными

17. Двойственный симплекс-метод. Псевдорешение. Предпосылки применения алгоритма двойственного симплекс-метода.

Ответ: Двойственный СМ – метод, применяемый и в том случае, если свободные члены нетривиальных ограничений являются отрицательными числами.

Решение X=(b₁,...,b_m,0,...,0) системы нетривиальных ограничений называется псевдорешением задачи

линейного программирования, если Δ_j ≥ 0, j=1,…,n.

Основными предпосылками для решения задачи линейного программирования двойственным симплекс-методом являются

теоремы.

Т1. Если в псевдоплане X=(b₁,...,b_m,0,...,0) есть хотя бы

одно отрицательное число b_i< 0 такое, что все a_ij≥0 при i=1,..,m, то задача не имеет решений.

Т2. Если в псевдоплане X=(b₁,...,b_m,0,...,0) имеются отрицательные числа b_i< 0 такие, что для любого из них существуют числа a_ij< 0, то можно перейти к новому псевдоплану, при котором значение целевой функции задачи не уменьшится.