20. Определение гиперболы и параболы, уравнение и рисунки. Полярная система координат на плоскости. Гипербола
Как учат
в школе, графиком функции 
является
гипербола. Мы посмотрим на гиперболу
несколько с иной точки зрения.
Пусть
на плоскости даны две точки 
и 
.
Определение. Гиперболой
называют множество 
точек
плоскости таких, что модуль разности
растояний от каждой из таких точек
до
и
постоянна.
Иными 
в
том и только том случае, когда 
постоянен
Точки
,
называются
фокусами гиперболы.
Для того, чтобы получить уравнение гиперболы, воспользуемся методом, который аналогичен тому, что был использован в случае эллипса.
Введем
систему координат на плоскости так,
чтобы фокусы
и
имели
бы координаты 
и 
соответственно:
Пусть
точка 
плоскости
такова, что 
.
Здесь 
и 
-
фиксированные положительные числа.
Таким образом, 
и,
как следует из неравенства треугольника, 
.
Однако, если 
,
то либо 
,
либо 
.
А это означает, что 
лежит
на одном из лучей, дополняющих до прямой
отрезок 
.
Поэтому этот случай мы рассматривать
не будем.
Перепишем
равенство 
в
координатах:
(2)
или
(2`)
С этим уравнением поступим также, как в случае эллипса мы поступили с уравнением (1):
.
Произведя необходимые преобразования дальше, получим:
,
или, принимая во внимание то,
что 
положительно, 
для 
.
Поделив
обе части полученного уравнения на 
,
получим:
(2*)
Осталось доказать, что (2*) - действительно уравнение гиперболы: как и в случае эллипса, мы должны проверить, что если координаты точки удовлетворяют (2*), то принадлежит гиперболе, то есть справедливо равенство .
Имеем:
.(*)
Совершенно аналогично
(**).
Нам нужно
выбрать знак перед скобками так, чтобы
каждон из выражений было положительным.
Из (2*) замечаем, что 
.
Кроме того,
.
При положительном 
внутри
скобок в (*) стоит положительное число,
а внутри скобок из (**) - отрицательное
число. Поэтому при
и 
,
а 
.
Случай 
рассматривается
аналогично, и приводит к равенству 
.
Таким образом уравнение (2*) действительно является уравнением гиперболы. Его называют каноническим уравнением гиперболы.
Разберемся теперь, как соотносится уравнения (2*) и , которое нам известно из школы. Для этого перепишем "школьное" уравнение в виде
(Ш)
и сделаем сначала такую замену переменных:
Тогда уравнение (Ш) примет вид
для
подходящих 
и 
.(Ш*)
Это
уравнение уже более похоже на уравнение
(2*), нам осталось избавиться в нем от
суммы 
.
Для этого сделаем такую замену переменных:
После
такой замены (Ш*) примет вид 
при
подходящем значении 
.
Интересующийся читатель сможет без
труда установить,что
не
равно нулю и привести полученное
уравнение к каноническому виду.
Парабола
В школе
говорят, что парабола - это график
функции 
.
Как хорошо известно, эту параболу можно
сдвинуть по плоскости так, что ее вершина
окажется в начале координат, а уравнение
примет вид 
.
Мы, как и выше поступили с гиперболой,
дадим геометрическое определение
параболы и получим ее каноническое
уравнение.
Возьмем
точку 
на
плоскости и прямую 
,
которая не проходит через
.
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от точки , называемой фокусом параболы ии прямой , называемой директриссой параболы.
Приступим
к получению канонического уравнения
параболы. Предположим, что расстояние
между
и
равно
.
Введем систему координат так, что
будет
иметь координаты 
,
а
-
уравнение 
.
Пусть
точка
принадлежит
параболе. Тогда тот факт, что она
равноудалена от 
и
записывается
так:
.
После
возведения в квадрат этого уравнения,
будем иметь 
,
откуда получается
(3)
Нам
осталось проверить, что всякая
точка
координаты
которой удовлетворяют уравнению (3),
будет равноудалена от
и
.
Поскольку
положительно, 
,
из чего следует, что 
.
Заменяя здесь 
на 
из
(3), получим 
.
То есть
действительно
равноудаленна от
и
.