2) Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой

Это уравнение является частным случаем уравнения (41).

Д ействительно, пусть плоскость проходит через три точки , и , не лежащие на одной прямой. Тогда векторы

и

неколлинеарные и параллельны плоскости. Следовательно, уравнение этой плоскости будет иметь вид

, (42)

или в координатной форме

. (43)

Уравнения (42) и (43) называют уравнениями плоскости, проходящей через три точки , и (в векторной и координатной форме соответственно).

2. Исследование

Проведем исследование общего уравнения плоскости. Т.е. выясним, что можно сказать о плоскости по виду ее общего уравнения.

Если в уравнении (38) все коэффициенты , , и отличны от нуля, то уравнение называют полным; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – уравнение называют неполным.

1 ) Пусть уравнение (38) – полное. Тогда его можно записать в виде

,

⇒ .

Обозначим , и . Тогда уравнение плоскости примет вид

. (39)

Уравнение (39) называют уравнением плоскости в отрезках. Легко проверить, что плоскость, имеющая уравнение (39), проходит через точки , и . Следовательно, с геометрической точки зрения , и – отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях , и соответственно.

2) Пусть в уравнении (38) коэффициенты , и – ненулевые, а , т.е. уравнение плоскости имеет вид

.

Легко проверить, что такая плоскость проходит через начало координат .

З амечание. Чтобы построить плоскость , обычно находят прямые, по которым она пересекается с двумя координатными плоскостями. Например, – пересечение с плоскостью (ее уравнение ) и – пересечение с плоскостью (ее уравнение ).

3) Пусть в уравнении (38) один из коэффициентов , или  – нулевой, а , т.е. уравнение плоскости имеет вид

или или .

Если плоскость имеет уравнение , то его можно записать в виде

,

⇒ ,

⇒ ,

где , . Но последнему уравнению удовлетворяют координаты точек и (при любом ). Следовательно, плоскость параллельна оси и отсекает на осях и отрезки и соответственно.

Аналогичным образом получаем, что плоскость параллельна оси и отсекает на осях и отрезки и соответственно, а плоскость  – параллельна оси и отсекает на осях и отрезки и .

Таким образом, плоскость, в уравнении которой отсутствует одна из координат, параллельна оси отсутствующей координаты.

4) Пусть в уравнении (38) два из трех коэффициентов , или  – нулевые, а , т.е. уравнение плоскости имеет вид

или или .

Если плоскость имеет уравнение , то его можно записать в виде ,

⇒ ,

⇒ ,

где . Но последнему уравнению удовлетворяют координаты точек (при любых и ). Следовательно, плоскость параллельна координатной плоскости и отсекает на оси отрезок .

А налогичным образом получаем, что плоскость параллельна координатной плоскости и отсекает на оси отрезок , а плоскость – параллельна плоскости и отсекает на оси отрезок .

Таким образом, плоскость, в уравнении которой отсутствуют две координаты, параллельна координатной плоскости, проходящей через оси отсутствующих координат.

5) Пусть в уравнении (38) и один из коэффициентов , или тоже нулевой, т.е. уравнение плоскости имеет вид

или или .

Уравнению удовлетворяют координаты точек (при любом ). Следовательно, эта плоскость проходит через ось .

А налогично получаем, что плоскость проходит через ось , а плоскость – проходит через ось .

5) Пусть в уравнении (38) три коэффициента равны нулю, т.е. уравнение плоскости имеет вид

или или .

Эти уравнения можно записать соответственно в виде

, , .

Но это уравнения координатных плоскостей , , .

З амечание. Пусть плоскость не проходит через начало координат, – основание перпендикуляра, опущенного на из начала координат, – орт вектора . Так как является нормальным вектором плоскости , то ее общее уравнение можно записать в виде

,

где – расстояние от начала координат до плоскости (доказать самим). Этот частный случай общего уравнения плоскости называется нормальным уравнением плоскости.

Для плоскости, проходящей через начало координат, тоже можно записать нормальное уравнение. В этом случае оно будет иметь вид

,

где – направляющие косинусы нормали к плоскости

Прямая линия в пространстве: общее уравнение прямой в пространстве, канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно вектору (вывод), канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки (вывод).