25. Доказать, что если векторы и относятся к различным собственным значениям , то они линейно независимы.

Доказательство:

x₁ – c.в. , относящийся к с.з. λ₁ => φ(x₁) = λ₁ x₁

x₂ – с.в. , относящийся к с.з. λ₂ => φ(x₂) = λ₂ x₂

λ₁ ≠ λ₂

Пусть векторы x₁ и x₂ – линейно зависимы => x₁ =λ x₂

φ(x₁) = φ(αx₂) = α φ(x₂) = αλ₂ x₂ = λ₂ (αx₂) = λ₂ x₁ => x₁ – c.в. , относящийся к с.з. λ₂, что противоречит условию.

Аналогично, φ(x₂).

• λ_{1 =} λ₂

• x₁ и x₂ – линейно независимы.

26. Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса

Доказательство.

Пусть А и A1 матрицы линейного оператора в базисах е1,е2…еn и f1,f2…fn. Преобразуем характеристический многочлен |A1-ƛE |, полученный в новом базисе f1,f2…fn если известна матрица перехода «Т» от старого базиса е1,е2…еn к базису f1,f2…fn.

Теорема доказана.

Критерий диагонализируемости линейного оператора

Оператор является диагонализируемым тогда и только тогда, когда в пространстве существует базис, каждый вектор которого является собственным вектором этого оператора.

О пр. –

Замечания:

1) (х, αy) = (αy, x) = α(y,x) = α(x,y)

2) (x, y1 + y2) = (y1 + y2, x) = (y1, x) + (y2, x) = (x, y1) + (x, y2)

3) (x, 0) = (x, 0 * y) = 0 * (x, y) = 0

Прямая линия на плоскости (вывод: общего уравнения прямой, канонических и параметрических уравнений прямых, проходящих через заданную точку параллельно вектору, канонических и параметрических уравнений прямых, проходящих через две заданные точки).

Получим общее уравнение прямой на плоскости, решив следующую задачу.

ЗАДАЧА 11.1. Записать уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно вектору .

Пусть точка – произвольная точка прямой (такую точку мы будем в дальнейшем называть текущей точкой прямой). Обозначим через и – радиус-векторы точек и соответственно. Рассмотрим векторы и . По условию задачи они перпендикулярны. Следовательно,

, (23)

или, в координатной форме,

. (24)

Уравнению (24) удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты других точек плоскости. Следовательно, это и есть искомое уравнение. Уравнения (23) и (24) называют уравнениями прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору (в векторной и координатной форме соответственно).

Раскроем скобки в уравнении (24) и приведем подобные слагаемые:

.

Обозначим число через и получим общее уравнение прямой на плоскости:

. (25)

Таким образом, прямая в общем случае она задается уравнением (25), где – числа. Причем и не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это коэффициенты вектора, перпендикулярного прямой.

Вектор, перпендикулярный прямой, называют нормальным вектором этой прямой.

Параметрические уравнения прямой

Получим параметрические уравнение прямой на плоскости, решив следующую задачу.

ЗАДАЧА 11.2. Записать уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно вектору .

Вектор, параллельный прямой, называют направляющим вектором этой прямой.

П усть точка – текущая точка прямой. Обозначим через и – радиус-векторы точек и соответственно. Рассмотрим векторы и . По условию задачи они параллельны. Следовательно, существует такое число , что ,

⇒ , (27)

или, в координатной форме,

(28)

Очевидно, что системе (28) будут удовлетворять координаты любой точки прямой при некотором значении ( называют параметром) и не будут удовлетворять координаты других точек плоскости.

Уравнение (27) и систему уравнений (28) называют параметрическими уравнениями прямой (в векторной и координатной форме соответственно).