6. Физический смысл скалярного произведения.

Если под действием постоянной силы точка перемещается по прямой из т. М₁ в М₂, то работа силы будет равна А = ( ).

Скалярное произведение векторов в декартовой системе координат (с выводом формулы).

Если в декартовом прямоугольном базисе векторы и имеют координаты:

= { ; ; }, = { ; ; }, то ( , ) = + +

Доказательство

Пусть = + + ; = ;

Найдем ( , ) = ( + , ) = ( ) + ( , ) +

+ ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )+( ) = ( ) + ( ) + ( ) = ² + | |² + | |² = + .

Критерий ортогональности (перпендикулярности) векторов (доказать).

Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Если векторы перпендикулярны, значит угол м/у ними равен 90. Тогда скалярное произведение запишется: ( ) = | |∙| | cos90 = 0.

Если ( ) = 0 => векторы перпендикулярны, т.к. cos90 = 0.

Свойства векторного произведения (доказать) и его геометрический смысл.

Векторным произведением двух ненулевых векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) |  | = |   | × |  | × sinj, где j – угол между векторами и ;

2) вектор ортогонален векторам и ;

3) тройка векторов , и – правая.

Если хотя бы один из векторов или нулевой, то их векторное произведение полагают равным нулевому вектору. (Об: [ , ] или ´ .)

Свойства векторного произведения:

1. При перестановке векторов и их векторное произведение меняет знак, т.е. [   ,  ] = – [  ,   ] .

Векторы [   ,  ]  и [  ,   ] коллинеарны, имеют одинаковые модули, но противоположно направлены (тройки , , [   ,  ] и , , [  ,   ] противоположной ориентации). Значит, [   ,  ] = – [  ,   ].

2) Числовой множитель любого из двух векторов можно вынести за знак векторного произведения, т.е. [ l  ,   ] = [   , l  ] = l [   ,   ] .

3. Если один из векторов записан в виде суммы, то векторное произведение тоже можно записать в виде суммы. А именно: [  ₁ +  ₂ ,  ] = [  ₁ ,   ] + [  ₂ ,   ][   ,  ₁ +  ₂ ] = [   ,  ₁ ] + [   ,  ₂ ] .

3. Критерий коллинеарности векторов.

Ненулевые векторы и коллинеарные Û их векторное произведение равно нулевому вектору.

3. Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль векторного произведения неколлинеарных векторов и равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

3. Если в декартовом прямоугольном базисе векторы и имеют координаты:  = {a_x ; a_y ; a_z},     = {b_x ; b_y ; b_z} , то

3. Механический смысл векторного произведения.

Если вектор это сила, приложенная к точке M , то векторное произведение [ ] представляет собой момент силы относительно точки O.

Критерий коллинеарности векторов (с док-ом, используя векторное произведение векторов).

Ненулевые векторы и коллинеарные Û их векторное произведение равно нулевому вектору.

Если || , то угол м/у ними равен 0 или 180. Но тогда

[   ,  ] = |   | × |  | × sin( ) = 0. Значит, [   ,  ] = 0.

Если же [   ,  ] = 0, то |   | × |  | × sinj= 0. Но тогда j = 0 или j = 180, т.е. ||

Вычисление векторного произведения в декартовой системе координат (с выводом формулы).

Пусть известны координаты векторов , то есть

Используя свойства векторного произведения, найдем:

Выражения в скобках можно записать с помощью определителей второго порядка (проверьте), то есть:

правую часть последнего выражения можно записать с помощью определителя третьего порядка:

Эта формула является удобной записью векторного произведения в координатах.

Смешанное произведение трёх векторов: определение и свойства (доказать).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Смешанным произведением трех векторов ā, b̄ и c̄ называется число, равное скалярному произведению вектора ā на векторное произведение векторов b̄ и c̄ , т.е.

(ā, [ b̄, с̄ ]) .

Обозначают: (ā, b̄, с̄) или ā b̄ с̄ .

Свойства смешанного произведения

Если a,b,c и d — произвольные векторы, а t — произвольное число, то:

1) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b) = −(a,c,b) = −(c,b,a) = −(b,a,c);

2) (ta,b,c) = (a,tb,c) = (a,b,tc) = t · (a,b,c);

3) (a + b,c,d) = (a,c,d) + (b,c,d) (смешанное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов по первому

аргументу); (a,b + c,d) = (a,b,d) + (a,c,d) (смешанное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов по второму

аргументу); (a,b,c + d) = (a,b,c) + (a,b,d) (смешанное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов по третьему аргументу).

5)Если смешанное произведение векторов а, b, c положительно, то векторы а, b, c образуют правую тройку. Иначе векторы а, b, c образуют левую тройку

Критерий компланарности трёх векторов (доказать).

Критерий компланарности векторов

Векторы a,b и c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное

произведение равно нулю.

Доказательство

Необходимость.

Предположим, что векторы a,b и cкомпланарны. Если a || b, то a × b = 0, и потому abc = (a ×b,c) = 0.

Пусть теперь a ∦b. Отложим векторы a,b и c от одной точки. Тогда они будут лежать в некоторой плоскости. Вектор a × b ортогонален этой плоскости, а значит, и вектору c. Следовательно, abc = (a × b, c) = 0.

Достаточность.

Если a || b, то компланарность векторов a,b и c очевидна.

Пусть теперь a ∦b. Будем считать, что векторы a,b,c отложены от одной и той же точки. Пусть abc = 0. Это означает, что (a × b,c) = 0.

Следовательно, вектор a × b ортогонален вектору c. Но вектор a × b ортогонален плоскости σ, образованной векторами a и b. Поскольку c ортогонален этому вектору, то он лежит в σ. А это означает, что векторы a,b и c компланарны.

Вычисление смешанного произведения в декартовой системе координат (с выводом формулы).

Найдём выражение смешанного произведения через координаты.

Пусть тогда векторное произведение в координатах записывается в виде:

тогда скалярное произведение в координатах имеет вид:

Правую часть последнего выражения можно записать с помощью определителя третьего порядка. Итак, смешанное произведение в координатах имеет следующий вид:

Геометрический смысл смешанного произведения (доказать теорему о модуле смешанного произведения).

Модуль смешанного произведения трёх векторов численно равен объёму параллелепипеда, построенного на трех данных векторах, как на его ребрах: |(a,b ,c)|=V_пар

Доказательство

Объем параллелепипеда V равен произведению площади основания S на высоту Н: V=SH

П лощадь основания S численно равна модулю векторного произведения: S=|[b,c]|, а высота Н равна модулю проекции вектора a на вектор d=[b,c]: H=|Пр_da|

Отсюда получаем:

V=SH= |[b,c]|*|Пр_da|=|[b,c]|*|Пр_[b,c]a|=

Критерий линейной зависимости векторов линейного пространства( С доказательством)

Векторы a_1,a_2… a_k линейно зависимы  , когда хотя бы один из них выражается через оставшиеся.

Док-во:

Необходимость:

Пусть векторы a_1,a_2… a_k – линейно зависимы. => существует α₁, α₂… α_k не все равные нулю:

α₁a₁ + α₂a₂ + …+ α_ka_k = 0

Пусть α₃ ≠ 0 => α₃a₃ = - α₁a₁ – α₂a₂ – α₄a₄ -…- α_ka_k

• a₃ = - a₁ – a₂ – a₄ - …- - a_k,

т.е. a₃ линейно выражается через остальные векторы.

Достаточность:

Пусть один из векторов a_1,a_2… a_k линейно выражается через остальные.

Например: a₂= α₁a₁ + α₃a₃ +…+ α_ka_k

α₁a₁ – a₂ + α₃a₃ + … + α_ka_k = 0

α₂ = -1 ≠ 0 => a_1,a_2… a_k – линейно зависимы.

Формула преобразования координат вектора линейного пространства при преобразовании его базиса

Пусть системы векторов e = {e₁, ..., e_n} и f = {f₁, ..., f_n} — два базиса n-мерного линейного пространства L_n.

Обозначим x_e = (x₁,x₂, ..., x_n) и x_f = (x'₁,x'₂, ..., x'_n) — координаты вектора x ∈ L_n соответственно в базисах e и f.

Справедливо следующее x_e= C_e→f·x_f :

Здесь C_e→f — матрица перехода от базиса e к базису f, это матрица, столбцами которой являются координаты базисных векторов f₁, ..., f_n  в базисе  e₁, ..., e_n:

f₁ = с₁₁· e₂ + с₂₁· e₁ + ... + с_n1· e_n, f₂ = с₁₂· e₁ + с₂₂· e₂ + ... + с_n2· e_n, ..., f_n = с_1n· e₂ + ... + с_nn· e_n.

Формулу преобразования координат вектора при изменении базиса принято записывать в виде

x_f= (C_e→f)^{− 1}·x_e

24.Докажите, что если и – собственные векторы оператора φ, относящиеся к одному и тому же собственному значению λ, то их линейная комбинация – собственный вектор оператора φ , относящийся к тому же собственному значению.

Доказательство:

Пусть х₁ и х₂ – собственные векторы, относящиеся к собственному значению λ, т.е. φ(х₁) = λ* х_1, φ(х₂) = λ* х₂

Покажем, что φ(α*х_{1 +} β* х₂) = λ(αх₁ + βх₂₎

φ(α*х_{1 +} β* х₂) = α* φ(х₁) + β* φ(х₂) = αλ х₁ + βλ х₂ = λ(α х₁ + β х₂)