Вопрос №29/ Биномиальное распределение дискретной случайной величины

Дана случайная величина Х, равная числу появлений события А в n независимых испытаний, в каждом из которых событие А настпает с вероятностью p. Найти закон распределения данной случайной величины.

Решение:

X	0	1	n
P	C0m*p0*qn	C1m*p1*qn -1	Cnm*pn*q0

∑ (внизу к=0 и до n) C^k_m^*p^k*q^n-k = (p+q)ⁿ => p+q=1 =>

∑ (внизу к=0 и до n) p_k= ∑ (внизу к=0 и до n) C^k_m^*p^k*q^n-k =1

Вопрос №33

Среднеквадратическим отклонением случ. величины называется квадратный корень из дисперсии этой величины и обозначается:

Найти дисперсию случайной величины распределения по биномиальному закону с параметрами n и p.

Найти дисперсию случайной величины, равной числу успехов в n испытаниях Бернулли. Успех – появление события А с вероятностью р.

Проводится n независимых испытаний, в которых появляется событие А с той же вероятностью. Х-число успехов в n испытаниях Бернулли, Х= Х₁₊ Х₂ +..+Х_n. Каждая случайная величина имеет закон распределения

Х_n : ,(к=1,2,..n), 1≤к≤n (?? М(Х_к)=р)

В зависимости от того, произошел ли в катом испытании успех или нет (про закон распределения)

М(Х_к)==1*p +0*(1-p)=p

М(Х_к²)=p, т.к.

Х²_k :

=>D(Х_к)=М(Х_к²)-М²(Х_к),

М²(Х_к)=р²

М(Х_к²)=р;

Тогда D(Х_к)=р- р²=р(1-р)=рq

Вопрос №35

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, возможные значения которой заполняют сплошь некоторый числовой интервал (отрезок) с конечными или бесконечными границами.

Непрерывной сл.величиной называется сл.величина, если ее функция распределения непрерывна всюду на числовой оси и дифференцируема всюду, кроме отдельных точек.

Функцией (интегральной) распределения вероятности сл.вел. Х называется функция, определяющая для каждого значения х вероятность того, что сл.величина принимает значение меньше фиксир. х: F(Х)=Р(Х<х).

Свойства: Известно, что F(Х)=Р(Х<х).

1)Функция F(Х)≥0 и принимает значения в промежутке между 0 и 1(0≤F(Х)≤1).

Док-во: Т.к. функция распределения есть вероятность, а вероятность может изменяться от о до 1 (0≤P(A)≤1)

2)F(Х)-не убывает на всей области определения.

Док-во: для любого х₁ >х₂ соответствующее значение функции больше или равно, т.е. F(х₂)≥F(х₁)

F(х₂)=Р(х< х₂), F(х₁)=Р(х< х₁)

Рассмотрим событие, состоящее в том, что{ х>х₂} и событиее, состоящее в том, что случайная величина принимает значение > х₁,{х> х₁}.Тогда событие состоит в том, что случайная величина принимает значение > х₂. Можно представить в виде объединения 2х несовместных событий вида:

{Х< х₂}={Х< х₁} { х₁≤Х< х₂}. Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий получим: Р(х< х₂)= Р(х< х₁)+Р( х₁≤Х< х₂)

F(х₂)= F(х₁)+Р(х₁≤Х< х₂),следовательно F(х₂)- F(х₁)= Р(х₁≤Х< х₂) (1)

Т.к. вероятность всегда ≥0,т.е. Р(х₁≤Х< х₂) ≥0, следовательно F(х₂)- F(х₁) ≥0,след-но F(х₂)≥ F(х₁).

Итак, для любого х₁ >х₂ следует F(х₂)> F(х₁),т.е. по определению F(Х)-неубывающая функция.

3)Из свойства 2 (смотри выражение (1)) следует утверждение, что Р(α≤Х<β)=F(β)-F(α).

Вероятность того, что случайная величина принимает значение на интервале(α;β) равна приращению функции распределения на этом интервале.

4) F(+∞) =1 и F(-∞)=0.

Док-во: F(-∞)=P(X<-∞), т.к. (X<-∞)=невозможно (пустое множество). F(-∞)=0.

F(+∞)=P. (X<+∞)=1 это достоверно

Вопрос №37.

3) Функция распределения непрерывной случайной величины F(x) м.б. выражена через плотность распределения вероятности по формуле: F(x)=∫(от -∞ до x) f(x) dx, где f(x) – плотность распределения вероятности.

Действительно, по свойству 2: ∫(от a до b) f(x) dx= F(b)-F(a).

Пусть b=x, a∞, тогда ∫(от -∞ до x) f(x) dx= F(x)-F(-∞),

Известно, что F(-∞)=0. => ∫(от -∞ до x) f(x) dx=F(x)

Вопрос №38

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл вида

, где f(x) – плотность распределения вероятностей

Дисперсией непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл вида

Среднеквадратическим отклонением непрерывной случайной величины называется корень квадратный из дисперсии

докажем, что D(X) = M(X²)- M²(X)

По определению дисперсия случайной величины равна:

= M(X²)-2M²(X)+M²(X) = M(X²)-M²(X)

Вопрос №40.

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины называется нормальным, если плотность его распределения задается функцией вида

Числа а и σ называются параметрами нормального распределения вероятностей.

а = M(X), σ² = D(X)

Свойства нормального распределения вероятностей:

1. Область определения функции f(х) – любые х и f(x)>0 x ( -∞;+∞) (график функции – над осью ох) (показательная функция неотрицательная)

2. при х→ ∞, f(x)→0 => ох – горизонтальная асимптота

3. данная функция достигает max при х=а (график функции симметричен относительно прямой х=а)

4/ График данной функции симметричен относительно прямой х=а., т.к. в данную формулу разность (х-а) входит в квадрате.