Вопрос №31

Матем. ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности. Итак, математическое ожидание М(Х)= х_1*р₁+ х_2*р₂ +…+ х_n*р_n или

Если случайная величина принимает счетное число значений, то ее математическое находится по формуле

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. Обозначение D(X), т.е. по определению D(Х)=М[Х-М(Х)]²,

Свойства математического ожидания:

1)математическое ожидание константы есть константа М(С)=С, С=сonst.

2) математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий, т.е. М(Х₁±Х₂±...±Х_n)=М(Х₁)±М(Х₂)±…±М(Х_n)

3) математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий. М(Х_1*Х_2*…._*Х_n)=М(Х₁)*М(Х₂)*….*М(Х_n).

Следствие из 3 св-ва: Константу можно выносить за знак математического ожидания, т.е. М(сХ)=с_*М(Х).

Следовательно, т.к. случайная величина и const независимые величины, то по свойству 3:

М(сХ)=М(с)_*М(Х)= с_*М(Х)

4)пусть функция f(х) дискретная случайная величина, тогда математическое ожидание этой функции вычисляется по формуле

Вопрос № 32

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. Обозначение D(X), т.е. по определению D(Х)=М[Х-М(Х)]²,

Свойства: 1)D(С)=0;..D(C)=М[C-М(С)]²=М[0]²=0

2)постоя. множитель можно выносить за знак дисперсии, при этом возведя его в квадрат, т.е. D(cХ)=с²_* D(Х)

3)дисперсия суммы(разности) конечного числа n- независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т.е.

D(Х₁±Х₂±...±Х_n)=D(Х₁) ±D(Х₂) ±…±D(Х_n)..Т.к. D(Х₁-Х₂) =D(Х₁+(- Х₂))=D(Х₁) +D(-Х₂)= D(Х₁)+(-1)²_* D(Х₂)

4)дисперсия случайной величины не меняется от прибавления к случ. величине константы, т.е. D(Х+C)=D(Х)

5)дисперсия случ. величины всегда неотрицательна: D(Х)>=0

Вывод формулы: D(Х)=М(Х²) – [М(Х)]²

D(Х)= М[Х-М(Х)]²…D(Х)=М(Х²-2_*М(Х)+[М(Х)]²)=М(Х²)-2_*М(Х)_*М(Х)+М²(Х)= М(Х²) – [М(Х)]²

Вопрос №36.

Опр. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется f(x), которая равна производной от функции распределения вероятности, т.е. f(x)=F’(x) для любых х.

Свойства:

1) Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е. f(x)≥0 для любых х.

Док-во: действительно f(x)=F’(x), F(x) – неубывающая функция, =>

F’(x)≥0

2) Вероятность того, что непрерывная случайная величина попадет в интервал (а; в), равна интервалу от плотности вероятности на этом интервале, т.е.: P(a≤X≤b)=∫(от a до b) f(x) dx

Док-во: известно, что P(a≤X≤b)=F(b)-F(a), т.к. F’(x)=f(x), то

∫(от a до b) f(x) dx= F(b)-F(a), => P(a≤X≤b)=∫(от a до b) f(x) dx

3) Функция распределения непрерывной случайной величины F(x) м.б. выражена через плотность распределения вероятности по формуле: F(x)=∫(от -∞ до x) f(x) dx, где f(x) – плотность распределения вероятности.

Действительно, по свойству 2: ∫(от a до b) f(x) dx= F(b)-F(a).

Пусть b=x, a∞, тогда ∫(от -∞ до x) f(x) dx= F(x)-F(-∞),

Известно, что F(-∞)=0. => ∫(от -∞ до x) f(x) dx=F(x)

4) Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения непрерывной сл.величины равен 1, т.е.

∫(от -∞ до +∞) f(x) dx=1

Док-во: по свойству 3: F(x)=∫(от -∞ до x) f(x) dx для любых х.

∫(от -∞ до x) f(x) dx= lim (при х+∞) ∫(от -∞ до x) f(x) dx=

lim (при х+∞)F(x)=F(+∞)

Известно, что F(+∞)=1

∫(от -∞ до +∞) f(x) dx= F(+∞)=1