Вопрос № 26

Интегральная теорема Муавра- Лапласа.

Если вероятность р события А в п независимых испытаниях отлична от 0 и 1, то веротность того, что число наступлений события А к –раз заключено в промежутке а≤к≤в при достаточно большом п.:

P(m₁≤m≤m₂)≈ -это формула Муавра- Лапласа, где a= ; b= (без док-ва).

Обозначим Ф(х)= * - Это функция Лапласа

Утверждение теоремы можно записать в виде:

P(m₁;m₂)=Ф(b)-Ф(a), где b= ;a=

Пример:

Вероятность оказаться изделию бракованным = 0,005.

Чему равна вероятность того, что из 10000 наудачу взятых изделий бракованных изделий окажется не более 70?

Решение:

А- событие, состоящее в том, что изделие бракованное.

P(A)=0,005; p=0,005; n=10000

Найти бракованных окажется не более 70

P(m

=>P(0;70) = Ф( – Ф ( = Ф(2,84) – Ф (-7,09) = Ф(2,84) + Ф(7,09) = 0,4977 +0,5 = 0,9977

Т.к. ≈2,84; ; функция нечетная => Ф(-х)= -Ф(х)

Вопрос №27

Случайной величиной называется величина , принимающая одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно какого именно.

Обозначение : Х; Y, а значения случайной величины обозначается соответствующими буквами (х₁;х₂…х_n) и т.д.

Случайные величины бывают непрерывные и дискретные.

Дискретной случайной величиной называется величина, принимающая конечное или счетное число значений с определенными вероятностями.

Соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и вероятностями с которыми эти значения принимаются называется. Законом распределения случайно величины.

Простейшей формой закона распределения случайной величины является таблица, 1ая строка которой- значение случайной величины, 2ая- вероятности с которыми эти значения принимаются.

Например:

Х	х1	х2	х3	...	хn
Рn	p1	p2	p3	…	pn

Пример:

Рассмотрим случайную величину Х- число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найти закон распределения этой случайной величины.

Х-число очков

Х	1	2	3	4	5	6
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Заметим, что

Вопрос №28

Докажем, что сумма вероятностей в законе распределения дискретной случайной величины всегда равна 1. С этой целью рассмотрим события: А₁= (случайная величина принимает значение х₁)

А₂= ; А_n=

Эти события образуют полную группу событий, т.к.

1. А₁,А₂,..., А_n – попарно несовместны

2. A₁ A₂ ...A_n – событие достоверное (U) =>

Т.к. P(A₁)=p₁; P(A₂)=p₂ ……. P(A_n)=p_n =>

Вопрос №30

Если закон распределения одной случайной величины не зависит от того, какие возможные значения приняли др. случайные величины, то случайные величины называется зависимыми в совокупности. Если закон распределения одной случайной величины зависит от того, какие возможные значения приняли другие случайные величины, то эти случайные величины называются зависимыми в совокупности.

Матем. операции над случ. величинами:

1)произведение случайной величины на константу Х*с, с=const,есть случайная величина, возможные значения которой равны сх₁,сх₂,…,сх_n с теми же вероятностями, т.е.

Х		х1		х2		…		хn
Р		р1		р2		…		рn
сХ	сх1		сх2		…		схn
Р	р1		р2		…		рn

2)Квадрат случайной величины – есть случай величина Х²,возможное значение, которое имеет вид: Х² : х₁² ,х₂²,…, х_n² с теми же вероятностями, т.е.

Х2	х12	х22	…	хn2
Р	р1	р2	…	рn

3)суммой случайных величин Х,Y является случайная величина Х+Y,возможные значения, которые равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением случайной величины Y вероятности суммы Х+Y равны произведению вероятности слагаемых, если случайные величины Х,Y независимы и вероятности равны произведению вероятности одного из слагаемых на условную вероятность другого, если случайные величины Х и Y зависимы, т.е.

Х	х1	х2	…	хn
Р	р1	р2	…	рn
Y	y1	y2	…	yn
Q	q1	q2	…	qn

Х+Y	х1 + y1	х1+ y2	…	х1+ ym	х2+ y1	…	хn+ ym
P	р1*q1	р1* q2	…	р1*qm	р2* q1	…	рn* qm

4)произведение случайных величин Х*Y есть случайная величина, возможные значения которых равны произведениям каждого значения случайной величины Х на каждое значение случайной величины Y с вероятностями, равными произведениям вероятностей сомножителей.