Вопрос №23

Под испытанием будем понимать совокупность условий ,при которых может произойти некоторое событие. Одной из главных схем испытаний в теории вероятности является схема испытаний Бернулли. Чтобы понять рассмотрим пример.

Пусть испытанием является отдельный выстрел. Рассмотрим последовательность 5ти выстрелов, при которых 2 попадут в цель. А- событие, состоящее в том, что цель поражена.

P(A)=p

P( )=1-p

Какова вероятность того, что из 5 выстрелов 2 попадут в мишень.

P₅(2)-?

P²*(1-p)³

10=

= => P₅(2) = P²*(1-p)³

Решенную задачу запишем в общем виде.

При некоторых условиях вероятность появления события А в каждом испытании равна p. Найти вероятность того, что серия из n-независимых испытаний даст k появлений и (n-k) непоявлений события А. Обозначим вероятность того, что в n-независимых испытаний k раз появилось событие А: P_n (k).

Аналогично рассуждая получим:

P_n (k)= p^k*(1-p)^n-k - Формула Бернулли

Если назовем появление события А- "успехом",а непоявлением- "неудача", то в этих терминах определение:

Опр. (Схемы Бернули)

Серия из n независимых испытаний, исходом которых являются "успех" или "неудача" причем вероятности результатов испытаний не меняются от испытания к испытанию называется схемой испытания Бернулли или схема Бернулли.

Замечание: в формуле Бернулли число k(число раз появления события А) может принимать значения от 0 до n)

Составим таблицу:

Найдем сумму вероятностей:

Рассмотрим Бином вида:

Известно, что q+p=1 =>

Рассмотрим бином вида:

Заметим, что при разложении Бинома по формуле Ньютона коэффициенты при степенях (k=0...n) совпадают со значением вероятностей ( ) вероятность k успехов в n испытаниях Бернулли. Если при решении задачи требуется найти все вероятности (k=0...n), то целесообразно записать Бином (q+px) в степени n , разложить по ф. Ньютона и найти все вероятности.

Вопрос №25

Найдем формулу для приближенного вычисления вероятности в случае, когда n - большое число, а вероятность необязательно мала.

Эта формула следует из теоремы (локальная теорема Муавра- Лапласа)

Пусть вероятность наступления события А в n независимых испытаниях равна р (0 р 1) и число m (0≤m≤n), такое число принадлежит фиксированному отрезку [a;b]. Тогда вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз приближенно равна:

P_n(m)≈ или

Обозначив (х)= * - функция Лапласа.

P_n(m)≈ (х_m) Формула Муавра- Лапласа.

Пример:

Вероятность оказаться изделию бракованным = 0,005.

Чему равна вероятность того, что из 10000 наудачу взятых изделий бракованных изделий окажется ровно 40?

Решение:

А- событие, состоящее в том, что изделие бракованное.

P(A)=0,005; p=0,005; n=10000

Найти P₁₀₀₀₀(40)-?

1) = = =7,05

2)Х₄₀= ≈ - 1,42

=> функция Лапласа (-1,42)=0,1456

Следовательно: P₁₀₀₀₀(40)= * 0,1456 = 0,0206 (приближенное)

:P₁₀₀₀₀(40)=0,0197 – точный расчет

На практике вычисление вероятностей по a/ Муавра-Лапласа принимают за точный расчет в случае, если npq ≥20

Вопрос №24

Вывод формулы Пуассона (1780-1841гг).

Непосредственное вычисление вероятностей по формуле Бернулли в случае большого числа испытаний п вызывает громоздкие выклдки. Возникла необходимость получения более простых формул для вычисления аналогичных веряотностей. Одной из таких прибиженных формул является Пуассона.

Пусть в серии n-независимых испытаний событие А появляется с вероятностью p. Причем n- велико, р-мало. Найти вероятность того, что событие А появилось ровно m раз, т.е.найти вероятность

По формуле Бернулли вероятность

A_n (m)= p^m*(1-p)^n-m , где

Обозначим n*p=λ => p=

И в этих обозначениях формула Бернулли примет вид:

P_n(m) = *

Найдем предел этой вероятности при n, стремящемся к бесконечности, т.е

С этой целью предварительно вычислим след. пределы:

=> P_n(m)≈ - Формула Пуассона