Вопрос №15

Теорема (О сумме вероятностей событий, образующих полную группу)

Пусть события А₁, А₂, ... А_n образуют полную группу, тогда сумма вероятностей этих событий = 1, т.е.

P(A₁)+P(A₂)+...+P(A_n)=1

Док-во:

Т.к. события образуют полную группу, то A₁ A₂ A₃... A_n есть событие достоверное = U

Следовательно: P(A₁ A₂ ...A_n)=1, т.к. вероятность достоверного события =1 (Р(U)=1)

Из определения полной группы событий следует то, что эти события попарно несовместны, т.е. A_i∩A_j=Ø (i≠j)

Из попарно несовместности событий следует, что вероятность суммы этих событий = сумме вероятностей.

P(A₁ A₂ ...A_n)=P(A₁)+P(A₂)+...+P(A_n)

Из равенств следует, что P(A₁)+P(A₂)+...+P(A_n)=1

Следствие из теоремы:

2 Противоположных события образуют полную группу событий

P(A)+P( )=1

Док-во:

n- число всех испытаний

m- число испытаний благоприятствующих появлению события А

=> появилось (n-m) раз.

Используя классическую формулу определения вероятности, получим:

P )=

P( )=1-

P( )=1-P(A)

P(A)+P( )=1

№19. События А₁,А₂,А₃…А_n называются независимыми в совокупности, если любые 2 события независимы и независимо любое из событий и событие составленное из произведения остальных. Например: А₁,А₂,А₃ - независимы в совокупности. - независимы

Р(А₁∩А₂∩А₃) ≠Р(А₁)+Р(А₂) +Р(А₃)

А₁ и (А₂∩А₃) -независимы

А₂ и (А₁∩А₃)- независимы

А₃ и (А₂∩А₁)- независимы

Справедлива теорема: Если события А₁,А₂,А₃…А_n - независимы в совокупности, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей, т.е.

Р(А₁∩А₂∩А₃…А_n) =Р(А₁)*Р(А₂) *Р(А₃)*…*Р(А_n)(без док-ва).

Если события А₁,А₂,А₃…А_n - зависимы, то вероятность их произведения равна вероятности одного из событий, причем условная вероятность последующего события вычисляется при условии, что произошли предыдущие события, т.е. Р(А₁∩А₂∩А₃…А_n) =Р(А₁)*Р(А₂/ А₁) *Р(А₃/ А₂∩А₁)*

*Р(А₄/ А₁∩А₂∩А₃)…*Р(А_n/ А₁∩А₂∩А₃∩…∩А_n-1)

Вопрос №17

Теорема №3 Вероятность произведения 2х зависимы событий А и В равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого, при условии, что 1ое произошло.

P(A∩B)=P(A)*P(B/A)

P(A∩B)=P(B)*P(A/B)

Док-во:

При доказательстве применим только формулу классического определения вероятностей

Обозначим n- общее число исходов испытаний. Событию А благоприятствует m исходов испытаний, событию В благоприятствует k исходов испытаний, событию A∩B благоприятствует ℓ исходов испытаний .Следовательно:

P(A)= ; P(B)= ; P(A∩B)=

Найдем условную вероятность события В при условии, что А произошло.

Событию В/А благоприятствует ℓ исходов испытаний

P(B/A)= ; P(B/A)= ; P(B/A)= *

Т.к. ;

=> P(B/A)=P(A∩B) * ; P(A)≠0, P(B)≠0

P(A∩B)=P(A)*P(B/A)

Теорема 4 Вероятность произведения 2х независимых событий = произведению вероятностей этих событий. Т.е. P(A∩B)=P(A)*P(B)

Док-во:

По теореме 3 P(A∩B)= P(A)*P(B/A)

Т.к. события А и В по условию теоремы независимы, следовательно:

P(B)=P(B/A) ; P(A)=P(A/B)

P(A∩B)=P(A)*Р(В) (т.к. P(B)=P(B/A))

Вопрос №21

Вывод формулы полной вероятности

Пусть задана последовательность событий Н₁,Н₂,...Нn образующих полную группу событий.

События Н₁,Н₂,...Н_n называются гипотезами, т.к. неизвестно какое событие произойдет в результате опыта.

Введем событие А, связанное с тем же опытом, что и данное событие, причем событие А может произойти только вместе с одним из событий Н₁,Н₂,...Н_n.

Следовательно, в результате наступления события А наступает одно из событий А∩Н₁, либо А∩Н₂,...А∩Н_n

А= (А∩Н₁)U(А∩Н₂)U...U(А∩Н_n)

Т.к. по условию теоремы события Н₁,Н₂,...Н_n - образуют полную группу событий. Следовательно, они попарно независимы и их сумма есть событие достоверное, т.е.

Т.к. события Н₁,Н₂,...Н_n попарно несовместны=> и события А∩Н₁, А∩Н₂,...А∩Н_n тоже попарно несовместны

Отсюда по теореме вероятность события А= P(А∩Н₁)+P(А∩Н₂)+...+P(А∩Н_n) <=>

По условию известны все вероятности гипотез и известны все условные вероятности события А, т.е. P(A/H₁), P(A/H₂), ... , P(A/H_n).

Применим теорему вероятности суммы опарно несовместных событий к вероятности P(A∩Н_k) = P(H_k)*P(A/H_k)

Отсюда формула (1) принимает вид:

Это Формула полной вероятности событий, где Н₁,Н₂,...Н_n - полная группа событий, вероятности которых известны =>

Вопрос №20

Теорема(О вероятности хотя бы 1 события из n независимых в совокупности событий).

Вероятность хотя бы 1 события из n независимых в совокупности событий равна разности между единицей и произведением вероятностей событий противоположных данным, т.е.

А₁, А₂...А_n - независимые в совокупности

P(A)=1-P( )*P( )*...*P( )

Док-во:

По условию теоремы дана последовательность , ,....,Аn, n-независимых в совокупности событий P(A)=1-P( )*P( )*...*P ).Если события А₁,А₂,....,А_n независимы в совокупности , то и событие , ,... -независимы в совокупности. Обозначим через А- событие, которое произошло из данных, тогда событие ... )является противовположным к событию А. Известно, что сумма вероятностей противоположных событий =1 => P(A)+P( ... )=1 (1)

Cобытия , ,... независимо в совокупности, значит по теореме произведения вероятность события

P( ... )= P( )*P( )*...*P ) (2)

Из равенств (1) и (2) следует:

P( A)+ P( )* P( )*...*P ) =1 => P(A)= 1-P(P( )*P( )*...*P ).

Замечание:

Обозначив вероятность события P(A₁)=p₁, P(A₂)=p₂.....P(A_n)=p_n, тогда утверждение док-ва теоремы можно записать в виде P(A)=1-q₁*q₂*....*q_n. если вероятности событий равны между собой, т.е. P(A₁)=P(A₂)=P(A_n)=p, тогда утверждение доказанной теоремы запишется в виду P(A_n)=1-q_n.

Теорема 6

Вероятность произведения конечного числа зависимых событий= произведению вероятности одного из событий умноженную на условные вероятности оставшихся событий.

Причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие произошли.

Итак: А₁,А₂,..., А_n - зависимые события

P(A₁∩ A₂∩ .... ∩A_n)=P(A₁)*P(A₂/A₁)*P(A₃/A₁∩A₂)*P(A₄/A₁∩A₂∩A₃)*....*P(A_n/A₁∩A₂∩...∩_An-1).