Теорема Парсеваля.

Площадь I, ограниченная функцией F(t) = X₁(t)X₂(t) определяется выражением:

Таким образом, необходимо решить интеграл:

т.к.

получаем:

меняем порядок интегрирования:

Так как:

X(t)=ε(t)

Получаем:

т.к.

то:

;

тогда:

Этот табличный интеграл есть функция параметров.

Можно найти минимум ошибки из условий:

; …. ; .

Пример. Имеем систему:

Перед нами стоит задача сведения к минимуму динамической ошибки ε.

Передаточная функция системы:

Поделим числитель и знаменатель дроби на К_дв :

где:

- коэффициент демпфирования;

Передаточная функция по ошибке:

;

откуда:

;

так как:

Подставив выражение ε(p) и найдя в справочнике решение интеграла, получим:

Тогда:

;

Для уменьшения динамической ошибки необходимо уменьшить Т и увеличивать К. Однако, подбором это сделать сложно.

Возьмем частную производную по коэффициенту демпфирования и приравняем нулю:

отсюда:

Для уменьшения динамической ошибки оптимальным способом выполняются системы с переменным демпфированием.

ξ<1

t

ξ=1

При больших значениях ε(t) система работает с коэффициентом демпфирования меньше 1. По мере увеличения времени система изменяет коэффициент демпфирования, увеличивая его, и плавно переходит к апериодическому процессу.

Лекция 7 Повышение точности при случайном характере сигнала и помехи. Статистические характеристики.

Статистическими называются характеристики, которые определяются случайными сигналами (как полезной, так и помехой) и описываются соответствующими оценками.

Y(t)=X(t)+n(t),

где

X(t) – полезный сигнал;

n(t) – помеха;

Обычно используют следующие статистические оценки:

М(Y) – математическое ожидание величины Y;

D(Y) – дисперсия величины Y;

R(τ) – корреляционная функция;

S(ω) – спектральная плотность;

и д.р.

Если помеха и полезный сигнал некорелированы:

Оценка точности производится по усредненной ошибке :

Необходимо минимизировать .

С

f

лучай 1. Полезный сигнал и помеха не перекрывают друг друга по частоте.

S(f)

Sx(f)

Sn(f)

f₀

X_вх = X(t) + n(t)

В данном случае можно применить частотную фильтрацию. Для этого используют полосовые фильтры, настроенные на частоту сигнала.

Рассмотрим данный случай в общем виде.

P_x – мощность сигнала;

P_n – мощность помехи.

Обозначим:

P₀ - средняя мощность помехи на единицу частоты;

Δω₀ - полоса пропускания фильтра .

Надо выбрать Δω₀ так, чтобы полезный сигнал проходил, а помеха была отрезана.

P_n = P₀ Δω₀

Наличие помехоустойчивости связано с увеличением времени наблюдаемого сигнала T_x .

Пусть:

Δƒ T_x = μ ,

где μ = const для данной формы сигнала, тогда и ( μ кратно 1,2,3….)

Время наблюдения сигнала T_x надо выбирать так, чтобы его спектр Δƒ был меньше или равен полосе пропускания Δƒ₀ .

Δƒ < Δƒ₀

В этом случае мощность полезного сигнала на выходе можно считать равной P_x , тогда, учитывая, что Δω₀ = 2π ƒ₀ , можно написать:

- отношение мощности полезного сигнала к мощности помехи, мощность сигнала должна быть больше. Для этого нужно увеличить время наблюдаемого сигнала.