1. Параметрическая оптимизация.

Выход системы:

Y(p) = W_c(p)X(p) + W_n(p)N(p);

Y(p) = K_c(p)X(p)

Где:

W_c - передаточная функция системы по полезному сигналу;

W_n - передаточная функция системы по помехе;

K_c – коэффициент усиления сигнала.

В таком случае получаем систему уравнений:

1. W_c(p) = K_c ;

2. W_n(p) = 0.

Р

L(A)

ω

ω₀

20lgK

ассмотрим логарифмическую характеристику:

ω₀ – частота среза;

;

Желательно, чтобы выполнялось условие:

0 < ω_c < ω_гр ,

где

ω_c – частота сигнала;

ω_гр – граничная частота;

.

Реализация такой системы может быть выполнена с помощью RC – фильтра.

Интегрирующий фильтр.

Электрическая схема пассивного интегрирующего фильтра.

Фильтр имеет следующую логарифмическую характеристику:

L(A)

,

где:

T=RC;

Дифференцирующий фильтр.

Электрическая схема пассивного дифференцирующего фильтра.

Фильтр имеет следующую логарифмическую характеристику:

;

;

;

Получаем:

,

где

τ = RC;

Такой фильтр срезает низкочастотные сигналы и его следует использовать в следующем случае:

Недостатком пассивных фильтров является то, что они снижают добротность системы: сигнал, поданный на вход, ослабевает.

Активные фильтры.

1. Блок-схема активного фильтра.

Если К_y >>1, то можно считать, что:

- оптимальная передаточная функция фильтра.

Электрическая схема активного фильтра.

Uвх

;

- дифференцирующее звено.

Фильтр не пропускает низкие частоты.

2. Существуют также активные фильтры, собранные по следующей электрической схеме:

.

Рассмотрим случай, когда:

Фильтруются высокие частоты.

Достоинства активных фильтров: не уменьшается коэффициент усиления системы.

Недостатки: более сложная схема, требуется дополнительный источник энергии.

Пассивные и активные фильтры используются когда помеха и сигнал не пересекаются.

Случай 2. Спектр сигнала и помехи перекрываются.

f_c

f

Если в такой ситуации использовать активный или пассивный фильтры, то мы срежем часть сигнала и пропустим часть помехи.

В наихудшем случае спектральные плотности могут иметь такой вид:

Помеха представлена белым шумом и существует в пределах частот от 0 до ∞.

Найдем оптимальные параметры системы исходя из минимума среднеквадратической ошибки

;

;

ω_ср – частота среза;

S_ε (ω) – спектральная плотность сигнала по ошибке.

Рассмотрим систему:

X(t)

( X(t) и n(t) – некоррелированы)

- вход системы;

- выходной сигнал в операторной форме;

- идеальный сигнал на выходе;

Ошибка:

;

где:

Y_ид – идеальный выходной сигнал;

W_желат – желательная переходная функция.

На выходе системы имеем:

Для ошибки:

Полученное выражение можно представить так:

Получаем:

- передаточная функция по полезному сигналу;

- передаточная функция по помехе.

Известно что:

Найдем ω_{с опт} для конкретного примера. Пусть:

A(ω)

Примем:

,

тогда:

- ошибка от непрохождения сигнала (I);

- прошедшие ошибки (II).

Первое слагаемое в данном уравнении означает ошибку от «зарезания» полезного сигнала (I), второе – от пропуска помехи (II). Поэтому необходим выбор оптимального значения ω_с .

Необходимо обеспечить

В данном случае используется оптимизация по параметру.

Тогда должно выполняться условие:

В нашем случае в качестве параметра выбирается значение частоты среза ω_с.

Так как помеха и полезный сигнал некоррелированы:

От правильности выбора ω_с зависит величина ошибки на выходе системы.

Графическое решение данной задачи:

- график 1;

- график 2;

- график 3 – суммарная ошибка.

Полученное значение ω_{с опт} обеспечивает минимально возможную ошибку в данном случае.

Достоинство: простота реализации.

Недостатки: невысокая точность.