§ Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Рассмотрим
линейное однородное дифференциальное
уравнение второго порядка; оно имеет
вид
и решается последовательным интегрированием
правой части. При каждом интегрировании
получается одна произвольная постоянная.
Для решения линейного однородного
уравнения необходимо найти все линейно
независимые частные решения. Общее
решение уравнения получится как линейная
комбинация этих частных решений. Частные
решения уравнения будем искать в виде
где
-
неизвестно.
Общее
решение будет
Пример.
Решить уравнение
Составим
характеристическое уравнение
Общее
решение будет
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Где
f(х)
непрерывная функция. Однородное уравнение
соответствующее неоднородному уравнению
будет
Справедлива следующая теорема.
Теорема.
Пусть
-
частное решение уравнения
а
-
общее решение уравнения
то
общее решение уравнения
равно сумме частного решения неоднородного
уравнения и общего решения однородного
уравнения
Это теорема о структуре общего решения неоднородного дифференциального уравнения.
Пример.
Решить
уравнения
Для
соответствующего однородного уравнения
общее решение имеет вид
Запишем его в виде
(**)
Составляем для данного случая систему
Решаем эту систему
Найдем
из уравнений
Подставляя найденные в (**) получим
4.8. Ряды
Рассмотрим
числовую последовательность
и формально образуем из элементов этой
последовательности сумму вида:
-
это выражение называется числовым
рядом. Числа
называются
членами ряда, член
-
общим или n
-ным членом ряда.
Сумма конечного числа n первых членов ряда называется его n – ой частичной суммой. Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы образуют последовательность.
Числовой ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится к некоторому числу S, которое называется суммой этого ряда.
§ Признаки сходимости и расходимости рядов.
Первый признак сравнения: пусть даны два ряда с положительными членами:
и
выполняется неравенство
.
Тогда если сходится ряд (2), то сходится
и ряд (1); если расходится ряд (1), то
расходится ряд (2).
2.
Второй
признак сравнения: если
существует конечный и отличный от нуля
предел
то ряды (1) и (2) одновременно сходятся
или одновременно расходятся.
3.
Признак
Д’Аламбера: если
для ряда (1) существует предел
то при
ряд сходится, а при
расходится.
4.
Признак
Коши: если
для ряда (1) существует предел
то при
ряд
сходится, а при
расходится.
5.
Интегральный
признак Коши-Маклорена: пусть
члены ряда (1) не возрастают
-
и существует функция f(x),
которая определена для
непрерывна, не возрастает и
тогда
для сходимости ряда (1) необходимо и
достаточно, чтобы сходился несобственный
интеграл
называется обобщенным
гармоническим
или
рядом Дирихле, он
сходится при L>1
и расходится при L≤1.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.
Так как
а ряд
-
сходится (геометрический ряд
)
то по признаку сравнения исследуемый
ряд сходится.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Решение.
Сравним данный ряд с обобщенным
гармоническим рядом
который
сходится, так как
= 2>1.
Имеем:
Так
как
то на основании второго признака
сравнения заключаем, что исследуемый
ряд сходится.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
(с
помощью признака Д’Аламбера)
Решение.
Поскольку
и
данный
ряд расходится.
Пример.
С помощью признака Коши исследовать
сходимость ряда
Решение.
Имеем
Так
как
то
ряд сходится.
Пример.
Исследовать сходимость ряда
Решение.
Применим интегральный признак
Коши-Маклорена. По виду общего члена
найдем функцию f(x):
Вычислим несобственный интеграл:
Интеграл расходится, следовательно, и ряд расходится.