
- •§ Производные и дифференциалы высших порядков.
- •§ Экстремум функции нескольких переменных
- •4.5. Неопределенный интеграл
- •Основные методы интегрирования
- •Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной).
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование некоторых функций содержащих квадратный трехчлен.
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •4.6. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •§. Приложения определенного интеграла
- •§ Несобственные интегралы.
- •4.7. Дифференциальные уравнения.
- •§ Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •§ Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •4.8. Ряды
- •§ Степенные ряды
- •§ Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды.
- •§ Применение рядов в приближенных вычислениях
§ Несобственные интегралы.
Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций называются несобственными интегралами.
Если
существует конечный предел в правой
части равенства, то несобственный
интеграл называется сходящимся,
в противном случае – расходящимся.
Аналогично определяются:
Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл
Решение.
По определению
Существование
последнего предела зависит от величины
L.
Если
то
интеграл
сходится.
Если
то
интеграл
расходится.
При
= 1 интеграл также расходится, ибо
4.7. Дифференциальные уравнения.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию и ее производные различных порядков.
Порядком дифференцированного уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.
§ Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальным
уравнением с
разделяющимися
переменными
называется уравнение вида
где
-
функции только от х,
- функции только от у.
Данное
уравнение делим на произведение
,
т.е. приводим к уравнению с разделенными
переменными:
Общий
интеграл последнего уравнения:
Пример.
Проинтегрировать уравнение
.
Найти интегральную кривую, проходящую
через точку М (3; -4).
Решение. Данное уравнение можно переписать так:
Полученное уравнение является уравнением с разделенными переменными. Интегрируя, получим
Полагая
(т.к.
).
Общий
интеграл запишем в виде
Геометрически общий интеграл представляет собой семейство окружностей радиусов С с центром в начале координат.
Решим задачу Коши, т.е. Найдем ту окружность, которая проходит через точку М (3; -4). Подставляя
координаты точки М в уравнение
|
§ Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение
называется
однородным
, если коэффициенты
и
являются однородными функциями одного
и того же измерения n,
т.е. функциями, для которых при любом k
выполняются тождества.
Уравнение
можно привести к виду
с
помощью подстановки
где
u-новая
неизвестная функция, тогда однородное
уравнение преобразуется в уравнение с
разделяющимися переменными.
Пример. Проинтегрировать однородное дифференциальное уравнение
Решение. Коэффициенты при dy и dx соответственно равны:
Докажем,
что функции
и
являются однородными функциями первой
степени:
Положим
y=ux,
тогда dy=udx+xdu.
Подставим эти выражения в исходное
уравнение:
получим уравнения с разделяющимися переменными.
Разделяя переменные, проинтегрируем
откуда
откуда
подставляя
выражение
находим
Возводя
в квадрат обе части уравнения и сокращая
на
,
получим общий интеграл
,
который геометрически представляет
собой семейство парабол с вершинами на
оси Оу.
§ Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения
вида
называются линейными,
первое – относительно у,
,
второе – относительно х,
Если
то уравнение называется линейным
однородным; если
-
линейным
неоднородным.
Линейное однородное – это уравнение с разделяющимися переменными.
Неоднородное
линейное уравнение может быть сведено
к решению двух уравнений с разделяющимися
переменными. Для этого используется
подстановка
тогда
В качестве v выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравнению
тогда
функция u
определяется из уравнения
.
Пример. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения
Решение.
Положим
Уравнение перепишем в виде:
Выберем v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, тогда
Уравнение
имеет вид при
.
Следовательно
Или
С
– общее решение исходного уравнения.