* Операции над векторами:

Сложение

Операцию сложения геометрических векторов можно определить по разному, в зависимости от ситуации и типа расматриваемых векторов: Два вектора u, v и вектор их суммы

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

умножение

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла φ между ними

2. Скалярное произведение и проекции векторов на плоскости.

*Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число (скаляр), равный произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними. Скалярное произведение можно обозначать различными способами, например, как ab, a · b, (a , b), (a · b). Таким образом, скалярное произведение равно:

a · b = |a| · |b| · cos φ

Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение равно нулю.

Проекция вектора на плоскость

Пусть в пространстве задана плоскость р и пересекающая ее прямая м. Проекцией вектора на плоскость параллельно прямой (вдоль прямой ) называется вектор , началом которого служит проекция начала , а концом — проекция конца вектора (рис. 1.14). Если прямая перпендикулярна плоскости , то проекция называется ортогональной.

3. Прямая на плоскости: методы задания, виды уравнений и смысл коэффициентов

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

где A, B и C — произвольные постоянные, причем постоянные A и B не равны нулю одновременно. Вектор с координатами (A,B) называется нормальным вектором и он перпендикулярен прямой. Вектор с координатами (-B,A) или (B,-A) называется направляющим вектором.

При C = 0 прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде :

4. Взаимное расположение прямых на плоскости: пересечение прямых, угол между прямыми.

Прямые могут быть параллельны(не пересекаться, угол = 0 градусов), перпендикулярны (угол =90 градусов) и пересекающимися.

Угол между прямыми на плоскости

Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁,  y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂.

Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = А,  В₁ = В. Если еще и С₁ = С, то прямые совпадают.

  Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы  уравнений этих прямых.