29.Классификация слау в зависимости от числа линейно-независимых уравнений и числа неизвестных, теорема Кронекера-Капелли о совместности слау.
Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:
-
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.
Доказательство (условия совместности системы)
Необходимость:
Пусть
система
совместна. Тогда существуют числа
такие,
что
.
Следовательно, столбец b
является линейной комбинацией столбцов
матрицы
A.
Из того, что ранг матрицы не изменится,
если из системы его строк (столбцов)
вычеркнуть или приписать строку
(столбец), которая является линейной
комбинацией других строк (столбцов)
следует, что
.
Достаточность:
Пусть
.
Возьмем в матрице A
какой-нибудь базисный минор. Так как
,
то он же и будет базисным минором и
матрицы B.
Тогда согласно теореме о базисном
миноре
последний столбец матрицы B
будет линейной комбинацией базисных
столбцов, то есть столбцов матрицы A.
Следовательно, столбец свободных членов
системы является линейной комбинацией
столбцов матрицы A.
30.Решение слау методом Крамера.
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.
См. в телефон или на листок.
|
31.Решение слау методом Гаусса.
Ме́тод Га́усса[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные[2].
Решить систему уравнений методом Гаусса:
x + y - 3z = 2,
3x - 2y + z = - 1,
2x + y - 2z = 0.
Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы
и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:
а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:
~
;
б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:
.
В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:
x + y - 3z = 2,
-5y + 10z = -7,
- 10z = 13.
Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = - 0,7.