11Вопрос
Свойства векторного произведения
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c.
Векторное произведение двух векторов a = {x1; y1; z1} и b = {x2; y2; z2} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:
a ×b-
|
i |
j |
k |
= i(y1z2 - z1y2) - j(x1z2 - z1x2) + k(x1y2 - y1x2) |
x1 |
y1 |
z1 |
||
x2 |
y2 |
z2 |
или
a × b = {y1 z2 - z1 y2; z1 x2 - x1 z2; x1 y2 - y1 x2}
Свойства векторного произведения
Геометрический смысл векторного произведения. Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах.
Векторного произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны
Если вектор c равен векторному произведению векторов a и b, то он перпендикулярен этим векторам.
a × b = -b × a
(ka) × b = a × (kb) = k (a × b)
(a + b) × c = a × c + b × c
12Вопрос
Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число равное векторному произведению a x b, умноженному скалярно на вектор c.
(a, b, c) = (a x b, c)
Абсолютное значение смешанного произведения (a, b, c) равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c (геометрический смысл смешанного произведения).
Свойства смешанного произведения векторов:
перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения, т.е.:
(a, b, c) = - (b, a, c) = (b, c, a) = - (c, b, a) = (c, a, b) = - (a, c, b)
если смешанное произведение равно нулю ((a, b, c) = 0), то векторы a, b, c - компланарны - необходимое и достаточное условие компланарности векторов
если векторы заданы своими координатами:
a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2), c = (x3, y3, z3)
то смешанное произведение трех векторов определяется следующей формулой:
Геометрический смысл -абсолютная величина смешанного произведения векторов представляет собой объем параллелепипеда
Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.
Условия компланарности векторов
Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
Три вектора компланарны если они линейно зависимы.