ЛЕКЦИЯ № 2

Точечное и интервальное оценивание

Статистические оценки. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной. Доверительные интервалы. Точность оценки. Надежность.

Введение

Одной из центральных задач математической статистики является задача оценки параметров теоретического распределения изучаемого количественного признака (случайной величины) на основе выборочных данных. Для определения закона распределения необходимо располагать достаточно большим статистическим материалом (несколько сотен опытов). Однако на практике приходится иметь дело в лучшем случае с 2-3 десятками испытаний, т.к. это связано с дороговизной и сложностью проведения опытов. Поэтому такого статистического материала обычно не хватает для определения закона распределения, но, используя этот материал, можно «оценить» (т.е. найти подходящие значения) важнейших числовых параметров, определяющих закон распределения изучаемого количественного признака (случайной величины).

Такие задачи приходится часто решать при изучении таких дисциплин как:

• теоретические основы моделирования волоконно-оптических систем передач;

• устройства преобразования сигналов;

• математические методы анализа и синтеза сетей связи;

• борьба с аддитивными помехами и др.

Вопрос 1. Статистические оценки

Пусть имеется некоторая генеральная совокупность, каждый объект которой наделен количественным признаком Х. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое распределение имеет признак Х. Естественно возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение.

Например, если наперед известно, что изучаемый признак имеет распределение Пуассона, то необходимо оценить параметр , которым это распределение полностью определяется и т.п.

Пусть x₁, x₂, …, x_n – данные выборки генеральной совокупности, то есть значения признака Х, полученные в результате n наблюдений (наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают определяемый параметр.

Значения x₁, x₂, …, x_n можно рассматривать как частные значения n независимых СВ X₁, X₂, …, X_n, каждая из которых имеет тот же закон распределения и те же числовые характеристики, что и Х. Отсюда следует, что найти оценку неизвестного параметра – это значит найти функцию от наблюдаемых СВ X₁, X₂, …, X_n, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

О.1.1. Статистической оценкой ^* неизвестного параметра  теоретического распределения называется функция от наблюдаемых СВ:

.

Из определения 1.1. следует, что оценка ^* является СВ в отличие от оцениваемого параметра  - величины неслучайной, детерминированной.

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям.