20).Умножение матриц на число. Произведение матриц. Св-ва этих операций. Кольцо матриц.

В результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на число.

Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица С размера  m×n , элементы матрицы С вычисляются по определенному правилу умножения  i-ой строки матрицы A на  j-ый столбец матрицы B:

Св-ва. 1). (АВ)С=А(ВС) 2). Произведение матрицы А на единичную матрицу Е ровно самой матрице А, АЕ=А, ЕА=А. 3). Произведение матрицы А на нулевую матрицу = нулевой матрице А0=0, 0А=0.

Алгебра <K, +> с 2-умя БАО назыв кольцом, если: 1). <K, +> - Абелева группа, 2). ∀a,b,c∈K то a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc

21).Обратная матрица. Единственность обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

А-назыв обратимой если существует такая квадратная матрица Х, что АХ=ХА=Е, не для каждой кв. матрицы А найдется Х. Каждая матрица Х назыв обратной матрицей А.У каждой обратной А существует лишь одна матрица.

Док-во.Предположим теперь, что существуют две обратные матрицы,   и  . Тогда

и

Используем эти равенства для преобразования матрицы  :

что доказывает утверждение об единственности обратной матрицы.

22).Формула для вычесления обратной матрицы. Условия существования обратной матрицы. Группа невырожденных матриц.

A^-1=A*A^-1= A^-1*A=Е; 1/lAl *матрица,

23).Алгебраическая оперция

Сложение на множ n является БАО. Сложение нечетных чисел не является БАО. Вычетание на множ n не явл. БАО. Умножение подстановок n-го порядка является БАО. Умножение однотипных матриц явл. БАО. Умножение квадратных матриц n-го порядка являются БАО.

24).Основные свойства бао

1)a*b=b*a коммутативная.Сложение одной матрицы с действ. Элементами-коммут., умножение не коммут.

2) (a*b)*c=a*(b*c) ассоциативность , вычитание целых чисел не является ассоц., сложение целых – ассоц., умножение кв. матрицы ассоц., умножение подстановки ассоц.

3)* обратима на множестве М если для всех a,b€M существует x,y€M, что a*x=b, y*a=b. Сложение на мн. Целых чисел является обратимой бао т.к. a+x=b, y≠a=b, x=b-a€Z, y=b-a€Z. Подстановка n порядка АХ=В, УА=В, то Х= A^-1В, У=В A^-1, Х≠У. ХУ могут быть различны. Сложение не является на N тк х+2=1, х=-1 Умножение кв. матр. Не явл. Обрат. БАО тк АХ=В, УА=В не всегда имеют решения во мн.кв. матриц. 4)a*e=e*a=a нейтральный. 5)a'*a=a*a'=e семитричный

25).Понятие Алгебры как множества с алгебраическими операциями. Примеры Алгебр

Под множеством понимают собрание, совокупность, коллекцию вещей объединённых по какому либо признаку. Объекты из которых состоит множество называют его элементами. Множество не содержащие никаких элементов называют пустым.

26).Понятие группы. Подгруппа. Основные свойства групп

Группой называется алгебра <А,*> с БАО и обратимостью. Можно сказать, что группа это полугруппа с обратимой БАО. Группами является <Z,+> <Q.+> <R,+> , не образуют<N,+> тк х+а=б не всегда разрешена на мн.N.

Подгруппа ― подмножество   группы  , само являющееся группой относительно операции, определяющей  .

Подмножество   группы   является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

содержит произведение любых двух элементов из  ,

содержит вместе со всяким своим элементом   обратный к нему элемент  .

Св-ва: 1) (a*b)*c=a*(b*c) 2)a*e=e*a=a 3)a'*a=a*a'=e

Если опперация сложная то группа назыв. Аддитивной, если на умножение то мультипликативной. Однотипные матрицы по умножению образуют абилеву группу если элементы матрицы действительные числа. Основные св-ва групп: 1)если <А,*>то существует единственная е€А 2)<А,*> то для всех а€А существует единственная а 3)<А,*> а*с=б*с, а*б, так же с*а=с*б, а=б