41Вопрос

Простые и составные числа

В зависимости от того, сколько делителей имеет число, числа делятся на простые и составные. Знание наизусть простых чисел или проверка их по таблице используется для сокращения дробей, нахождения наибольшего общего кратного и наименьшего общего знаменателя и в других вычислениях.

Определение. Простое число — это число, у которого только два делителя: 1 и само число.

Например:

13 (1 * 13 = 13);

457 (1 * 457 = 457).

Все простые числа сведены в таблицу простых чисел, из которой желательно знать наизусть однозначные и двузначные простые числа, что упростит вычисления по многим темам школьной программы. Приведем таблицу простых чисел первой сотни натурального ряда.

Составные числа кратны трем и более натуральным числам.

Определение. Натуральное число, имеющее натуральный делитель, отличный от него самого и 1, называется составным числом.

Например:

6 (1 * 2 * 3 = 6);

128 (1 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 128; 1 *4 * 4 * 8 = 128; 1 * 4 * 32 = 128).

Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Метод поиска простых чисел разработан и применен древнегреческим ученым Эратосфеном и поэтому называется «решето Эратосфена».

Метод «решета Эратосфена» состоит в вычеркивании чисел, кратных простым числам, меньшим заданного. Наименьшее из не вычеркнутых натуральных чисел и является следующим простым числом.

Пример. С помощью метода Эратосфена определим простые числа первых двух десятков ряда натуральных чисел.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 — не простое число, вычеркивается.

2 — подчеркиваем. Находим числа, кратные 2, и вычеркиваем их (4, 6. 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).

3 — подчеркиваем. Вычеркиваем в поле все числа, которые кратны 3 (9, 15).

5 — подчеркиваем. Числа, кратные 5, уже вычеркнуты с поля (10,15.20).

7 — подчеркиваем. Число, кратное 7, уже вычеркнуто с поля (14).

Числа 11.13,17 и 19 в нашем поле не имеют кратных чисел, подчеркиваем их.

Следовательно, из чисел первых двух десятков простыми будут числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13. 17, 19.

Расширяя поле до 1000 или 10 000, мы тем же методом, пропустив все числа через «решето Эратосфена», можем найти простые числа до 1000 или 10 000. Метод универсален, с его помощью таблицу простых чисел можно расширять до бесконечности.

42Вопрос

Основная теорема арифметики. Всякое число, большее 1, может быть разложено в произведение простых чисел, и это разложение единственно с точностью до порядка множителей.

Доказательство.

Пусть a – целое число, большее единицы. Обозначим через p₁ его наименьший простой делитель, тогда a=p₁a₁ . Если a₁ больше 1, то обозначим через p₂ его наименьший простой делитель, т.е. a₁₌p₂ a₂ . a=p₁p₂a₂ Если a₂ больше 1 , то также представим a₂₌p₃a₃ a=p₁p₂p₃a₃ т.д. В конце концов, мы получим a_n=1 и a_n-1=p_n и a=p₁p₂p_3…p_n .

Если предположить, что число a раскладывается на простые множители другим способом: a=q₁q₂q_3…q_k , то получим, что p₁p₂p_3…p_n=q₁q₂q_3…q_k .

Справа число делится на q₁, следовательно, и число слева делится на q₁ , а тогда среди множителей есть по крайней мере один, который делится на q₁, но так как все множители простые, то этот множитель (будем считать, что это p₁ ) равен q₁ . Сократим обе части равенства на q₁ , получим p₂p_3…p_n = q₂q_3…q_k. Теперь повторим рассуждения с множителем q₂ , получим p₂ = q₂ и т.д.

Замечание. В разложении числа на простые сомножители многие из них могут повторяться, поэтому в общем виде разложение числа a на простые множители с учетом их кратности можно записать так: a=p₁^a1 p₂^a2 p₃^a3…p_n^{a n}

где a₁a_2…a_n– целые числа и их сумма равна n.