1 Вопрос

Ноль (нуль, от лат. nullus — никакой) — название первой (по порядку) цифры в стандартных системах исчисления, а также математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления. Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд (например, в десятичной системе счисления, умножает на десять). Сравните, например, числа 410 и 4010; 416 и 4016 (нижний индекс означает основание системы счисления).

В России история возникновения:

Л. Магницкий в своей «Арифметике» называет знак 0 «цифрой или ничем» (первая страница текста); на второй странице в таблице, в которой каждой цифре даётся название, 0 называется «низачто». В конце XVIII века во втором русском издании «Сокращения первых оснований математики» X. Вольфа (1791) нуль ещё называется цифрой. В математических рукописях XVII века, употребляющих индийские цифры, 0 называется «оном» вследствие сходства с буквой о.

10Вопрос

В математике известны различные способы построения теории натуральных чисел. Мы рассмотрим лишь основные идеи двух теорий натуральных чисел, количественной и порядковой, находящие отражение в формировании представлений о числе, счете и арифметических операциях.

^ Основные идеи количественной теории натуральных чисел

В количественной теории натуральное число с самого начала воспринимается как число элементов (мощность, численность) конечного множества.

Рассмотрим всевозможные конечные множества (говорят «класс, или семейство, множеств») и установим для них отношение эквивалентности следующим образом: два множества А и В будем называть эквивалентными (обозначается это через А~В), если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие.

Установленное таким образом отношение множеств является отношением типа эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Для любых множеств А, В, С:

а) А~А; б) если А~В, то В~А; в) если А~В и В~С, то А~С.

Поэтому введенное отношение порождает разбиение данного семейства множеств на классы эквивалентности так, что любые два множества одного класса эквивалентны, а любые два множества различных классов неэквивалентны.

Эквивалентные множества не совпадают полностью, всеми своими свойствами: множество пальцев человеческой руки и множество, состоящее из пяти столов, различные, но эквивалентные множества.

Каждый класс эквивалентности характеризуется мощностью, т. е. любые два множества одного класса равномощны (имеют одинаковую мощность). Так как мы имеем дело лишь с конечными множествами, то равномощность означает равночисленность. Мощность, или класс, равночисленных конечных множеств и называют натуральным числом.

Таким образом, каждому конечному множеству Л приписывают в качестве характеристики натуральное число т(А), определяющее его принадлежность определенному классу эквивалентности. При этом множествам, принадлежащим одному классу эквивалентности, приписывается одно и то же натуральное число:

если А~В, то т(А)=т(В);

множествам, принадлежащим различным классам эквивалентности,— различные натуральные числа:

если А~В, то т (А)^т(В).

Так как А и В — конечные множества, то натуральные числа т(А) и т(В) обозначают числа элементов (численность) этих множеств.

В основе такой концепции натурального числа лежит абстракция отождествления: отношение эквивалентности множеств отождествляет множества, принадлежащие одному классу эквивалентности по их численности.

В результате этого отождествления от множеств, принадлежащих одному классу эквивалентности, абстрагируется их общее свойство, характеризующее этот класс, в виде самостоятельного понятия — натурального числа.

Название «количественная теория» связано с тем, что в этой теории натуральное число обозначает количество элементов множества.

^ Основные идеи порядковой теории натуральных чисел

В конце XIX в. была построена порядковая теория натуральных чисел, которая обычно связывается с именем итальянского математика Джузеппе Пеано (1858—1932), построившего эту теорию на аксиоматической основе.

Весьма развитый в математике аксиоматический подход к построению теорий состоит в следующем: а) выделяются некоторые исходные, неопределяемые через другие понятия; все остальные понятия теории определяются через ранее уже определенные; б) выделяются некоторые исходные предложения, или аксиомы, истинность которых принимается без доказательства; все остальные предложения теории — теоремы — логически выводятся или доказываются с использованием введенных понятий, ранее доказанных фактов, теорем.

Отметим, что аксиоматический подход применяется для построения теории, о которой уже имеются определенные, сформированные интуитивные представления. Иначе говоря, осуществляется аксиоматизация уже имеющейся «предматематической теории».

Подход к построению теории натуральных чисел, берущий начало от Пеано, представляет собой определенный способ математизации интуитивного представления о натуральном ряде.

Математизация этого интуитивного понятия приводит к определению натурального ряда как некоторой структуры (T, 1,'), состоящей из: а) множества N, элементы которого называются натуральными числами; б) выделенного в этом множестве элемента, обозначаемого знаком 1 и называемого единицей; в) определенного в множестве ТУотношения «непосредственно следует за» (число, непосредственно следующее за числом*, обозначим черезх\ т. е. если у непосредственно следует за х, то у=х'; у! — «сосед справа» для х).