Теорема Лакса-Рябенького
Из аппроксимационности и устойчивости решения следует его сходимость в случае линейных дифференциальных уравнений.
Метод
ЭйлераПусть
дана задача
Коши для
уравнения первого порядка
где
функция f определена
на некоторой области 
.
Решение разыскивается на интервале 
.
На этом интервале введем узлы
Приближенное
решение в узлах
,
которое обозначим через 
определяется
по формуле
Эти
формулы обобщаются на случай систем
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Классический метод Рунге — Кутты четвёртого порядка
Метод Рунге — Кутты четвёртого порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге — Кутты.
Рассмотрим задачу
Коши
Тогда
приближенное значение в последующих
точках вычисляется по итерационной
формуле:
Вычисление
нового значения проходит в четыре
стадии:
где h — величина шага сетки по x.
Этот
метод имеет четвёртый порядок точности,
то есть суммарная ошибка на конечном
интервале интегрирования имеет
порядок 
(ошибка
на каждом шаге порядка 
).