Нормы векторов

Определение. Пусть имеется n - мерное метрическое пространство вещественных чисел . Если для любого вектора существует число такое, что: , причем ; , где aÎR; , - неравенство треугольника; то называется нормой вектора X.

При решении СЛАУ наиболее распространены следующие нормы:

1. max-норма, или m – норма: ;

2. l-норма: ;

3. Евклидова норма: .

Определение. Пусть X* – точное значение вектора, X ‑ приближенное значение. Абсолютная и относительная погрешность вектора X*: , .

3. Нормы матриц

Согласованные с нормами векторов нормы матрицы A равны

1. max-норма, или m - норма:

;

2. l-норма:

;

3. Евклидова норма:

.

Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корня или корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точное значение вычислить невозможно или очень трудоёмко.

Рассмотрим методы численного решения уравнений и систем уравнений: или

Численное решение задачи можно проводить как непосредственно (используя одноимённые методы), так и с применением оптимизационных методов, приведя задачу к соответствующему виду.

Численные методы решения уравнений

Метод простой итерации

Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Гауса Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица A называется основной матрицей системы,b— столбцом свободных членов.Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных .Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.Если хотя бы одно число , где , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.Пусть для любых .Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом x ( , где — номер строки):

, где Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

8.Постановка задачи численного решения СЛАУ.Прямые методы решения.Метод LU-разложения (алгоритм, трудоёмкость и критерий примнимости).Матрица перестановок.

Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корня или корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точное значение вычислить невозможно или очень трудоёмко.

или

Численное решение задачи можно проводить как непосредственно (используя одноимённые методы), так и с применением оптимизационных методов, приведя задачу к соответствующему виду.

1. Метод последовательных приближений 2. Метод Гаусса-Зейделя 3. Метод обращения матрицы 4. Триангуляция матрицы

5. Метод Халецкого 6. Метод квадратного корня

LU-разложение — представление матрицы A в виде произведения двух матриц, A=LU, где L— нижняя треугольная матрица, а—U верхняя треугольная матрица. LU-разложение еще называют LU-факторизацией.LU-разложение используется для решения систем линейных уравнений, обращения матриц и вычисления определителя.Этот метод является одной из разновидностей метода Гаусса.

LU-разложение может быть использовано для решения системы линейных уравнений Ax=b, где A— матрица коэффициентов системы, x— вектор неизвестных величин системы,b— вектор правых частей системы.Если известно LU-разложение матрицы A, A=LU, исходная система может быть записана как LUx=bЭта система может быть решена в два шага. На первом шаге решается система

Поскольку L— нижняя треугольная матрица, эта система решается непосредственно прямой подстановкой. На втором шаге решается система Ux=y. Поскольку U— верхняя треугольная матрица, эта система решается непосредственно обратной подстановкой.

Ма́трица перестано́вки (или подстано́вки) — квадратная бинарная матрица, в каждой строке и столбце которой находится лишь один единичный элемент. Каждая матрица перестановки размера является матричным представлением перестановки порядка