4 .9.2 Динамические погрешности измерительной системы

Под динамической погрешностью понимается часть суммарной погрешности, которая добавляется к статической погрешности

• при измерении переменных во времени величин,

• при измерении постоянных величин во время переходного процесса или

• при наличии в составе выходного сигнала паразитных, переменных во времени составляющих (шум выходного сигнала).

В суммарной динамической погрешности можно выделить две составляющие:

• собственная динамическая погрешность, зависящая только от динамических свойств системы и характера изменения во времени входной величины,

• вынужденная динамическая погрешность, возникающая за счет шумов, генерируемых звеньями системы, и за счет шумов, налагающихся на полезный сигнал в различных точках структуры измерительной системы.

3. Собственные динамические погрешности

О бщий механизм образования собственной динамической погрешности можно иллюстрировать следующей схемой, приведенной на рис. 16.

Рис. 16 Образование собственной динамической погрешности

На вход измерительной системы с передаточной функцией поступает входной сигнал . На выходе имеет место сигнал , равный

Если бы измерительная система не вносила динамических искажений, она должна была бы обладать передаточной функцией, постоянной в своем частотном диапазоне

Поэтому сигнал на выходе измерительной системы имел бы вид:

что формально можно записать в виде:

Динамическая погрешность – это разность сигналов и :

Для приведения ко входу ее теперь нужно разделить на чувствительность системы ко входному сигналу:

И зображенную выше структуру можно теперь представить в виде, представленном на рис. 17.

Рис.17 Передаточная функция ошибки

Выражение

называется передаточной функцией ошибки.

Если является квазидетерминированным сигналом, то он содержит в себе некоторые случайные параметры , которые и делают этот сигнал почти случайным Поэтому и отображение сигнала содержит в себе эти параметры. В этих условиях и динамическая погрешность является квазидетерминированной функцией , случайность которой характеризуется теми же случайными параметрами . Вероятностные характеристики динамической погрешности определяются при этом уже известными методами. Если для каждого известны математическое ожидание и дисперсия , причем , то вероятностные характеристики динамической погрешности составляют:

- математическое ожидание ,

- дисперсия

Если является реализацией случайного стационарного эргодического процесса с энергетическим спектром , то спектральная плотность динамической погрешности оказывается равной произведению спектра и квадрата модуля АФЧХ ошибки:

и дисперсия динамической погрешности определяется теперь интегралом спектральной плотности погрешности:

Рассмотрим несколько типовых примеров определения динамических погрешностей.

Пример.

Измерение постоянных величин в неустановившемся режиме при ограниченном времени измерения.

Рис. 17 Динамическая погрешность при измерении в неустановившемся состоянии

Этот случай характерен для использования контрольных автоматов циклического действия, когда контролируемые изделия одно за другим, с периодом времени , поступают на позицию измерения и затем уходят с нее (рис. 17).

В этом случае можно считать, что измеряемая величина в некоторый момент времени принимает значение , остается равной в течение времени и затем вновь уменьшается до некоторого исходного уровня. Через время процесс повторяется, причем измеряемая величина принимает новое значение . Выходной сигнал измерительной системы изменяется в соответствии с переходной функцией . Для повышения производительности контрольного автомата время нахождения изделия на позиции измерения может быть и меньше продолжительности переходного процесса.

Пороговое устройство, которое сравнивает выходной сигнал с заданным при настройке и который формирует команду на последующую разбраковку изделий, включается через некоторое время после начала измерений. Динамическая погрешность при этом составляет:

где и - передаточная функция и чувствительность измерительной системы,

- преобразование Лапласа для входного сигнала.

Но , поэтому и

Если динамика измерительной системы описывается дифференциальным уравнением первого порядка, то передаточная функция , где - постоянная времени системы, то

.

Если , то динамическая погрешность практически исчезает, но сам контрольный автомат теряет при этом свою производительность.

Определим вероятностные характеристики динамической погрешности. Случайными параметрами здесь являются:

- случайная величина со средним значением и дисперсией ;

- случайная величина, рассеивание которой определяется погрешностями устройств, формирующих момент срабатывания пороговых схем, и имеющая математическое ожидание и дисперсию . Тогда динамическая погрешность будет характеризоваться математическим ожиданием

дисперсией

Так, если;

то:

Математическое ожидание – это систематическая погрешность и ее воздействие можно устранить соответствующей настройкой измерительной системы с учетом ее динамических свойств. Но случайная составляющая динамической погрешности полностью входит в суммарную погрешность средства измерений.

Пример

Измеряется овальность действительно овальной детали при непрерывном ее вращении (рис. 18) на позиции измерения. Измерительная система обладает передаточной функцией колебательного звена:

где - частота собственных свободных колебаний измерительной системы, - степень успокоения колебаний.

Рис.18 Измерение овальности

Входной сигнал имеет вид:

где: - постоянная составляющая, определяемая настройкой преобразователя,

- овальность изделия (измеряемая случайная величина),

- частота вращения изделия на позиции измерения,

- случайная начальная фаза.

Таким образом, сигнал является квазидетерминированным, со случайными параметрами , , и . Динамическая погрешность измерения составляет:

Уже на этом шаге решение получается очень сложным. Однако здесь можно воспользоваться тем обстоятельством, что входной сигнал является синусоидальным, поэтому в установившемся режиме и выходная величина меняется синусоидально:

где и - значения АЧХ и ФЧХ при . Нас интересует динамическая погрешность измерения только овальности, которая по результатам измерения составляет:

.

Поэтому погрешность измерения составляет:

поскольку

Таким образом, динамическая погрешность является мультипликативной и составляет:

Погрешность является систематической и при любом значении скорости вращения изделия на п озиции измерения погрешность можно вычислить и исключить из результатов измерений. График зависимости погрешности измерения от представлена на рис. 19.

Рис. 19 Систематическая погрешность измерения овальности

Однако, если скорость вращения изделия нестабильна и при среднем значении обладает дисперсией , то динамическая погрешность становится случайной с вероятностными характеристиками:

Пример

Задан энергетический спектр входного сигнала

и передаточная функция измерительной системы

Требуется вычислить дисперсию собственной динамической погрешности.

Передаточная функция ошибки

где - некоторый безразмерный коэффициент, меньший единицы.

Энергетический спектр погрешности

Дисперсия динамической погрешности составляет

Чтобы не мучиться с интегрированием, можно воспользоваться следующим обстоятельством.

Рассмотрим интегралы вида:

где

Результаты интегрирования этого выражения при некоторых выглядят следующим образом:

В нашем примере энергетический спектр погрешности можно представить в виде:

Сравнивая полученное выражение с тем, которым мы определили величину , приходим к следующим выводам:

Поэтому