8. Технологии идентификации моделей и систем

8.1 Модели явлений и систем

Идентификация – это процедура определения числовых значений для параметров моделей объектов или процессов.

Сама модель может быть задана в виде системы интегро-дифференциальных или алгебраических уравнений, связывающих вектор выходных величин или процессов с вектором входных воздействий. Система уравнений содержит в себе некоторое число постоянных параметров (коэффициенты при входных воздействиях и реакциях системы, неизвестные параметры системы, порядки дифференциальных и алгебраических уравнений и так далее).

В процессе идентификации модели подлежат измерению ее параметры, знание которых делает модель полностью определенной.

Измерить параметры модели – значит, определить их числовые значения и погрешности их определения. Этих результатов часто бывает достаточно для проверки адекватности модели, то есть ее соответствия моделируемому процессу или объекту.

Для определения параметров модели специальным образом организуется целая серия экспериментов, которые заключаются в подаче на объект серии соответствующим образом подобранных воздействии и в измерении реакции объекта на эти воздействия. Далее путем соответствующей обработки массивов данных, получаемых при измерениях воздействий и реакций объекта, вычисляются значения параметров модели.

Обычно рассматриваются два типа моделей.

1. Гносеологические модели сложных объектов или явлений в таких областях знаний, как биология, медицина, психология, социология, экономика. Здесь модели имеют чисто феноменологическое значение, они никак не вытекают из сути этих явлений и просто описывают зависимости между реакциями и воздействиями на привычном для математиков языке формул и уравнений. Параметры таких моделей не несут в себе определенного смысла. Смысл может вноситься в них только искусственно, при рассмотрении модели в качестве теории изучаемого явления. Однако формализация, математическое описание явлений позволяет выделить их наиболее важные черты, отбросить не существенные, рассмотреть явления в целом, чтобы затем перейти к их более детальному изучению. Важно также то, что при условии адекватности модели она может быть использована в целях предсказания дальнейшего поведения изучаемого процесса.

2. Информационные модели, непосредственно используемые в системах управления. Для построения системы управления необходимо знать свойства объекта управления. Объект описывается при этом с помощью динамической модели в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, передаточной функции, частотных характеристик, переходных или импульсных весовых функций. Гораздо сложнее описание нелинейных динамических систем. Если в процессе функционирования изменяются динамические свойства объекта, то ухудшается качество управления и приходится изменять параметры системы управления в соответствии с изменением параметров объекта. Для этого системы автоматического управления приходится снабжать специальными устройствами – идентификаторами, – которые отслеживают изменения параметров модели объекта и соответственно им изменяют параметры модели системы управления.

Модели первого типа – это чисто познавательные модели. Их рациональное усложнение делает модель все более адекватной изучаемому явлению. Рассмотрим пример модели этого типа.

Модель системы «хищник – жертва» Лотки – Вольтера.

Эта модель описывает взаимное проживание в одной местности хищников и их жертв. Волки поедают зайцев, число зайцев сокращается, а число сытых волков растет. Но вот зайцев стало слишком мало, волкам нечего кушать и их численность начинает падать. Пользуясь этим, зайцы начинают активно размножаться и их поголовье возрастает. Так возникает некоторая периодическая последовательность роста и убывания поголовья волков и зайцев в отдельно взятом лесу.

Обозначим через зависимость поголовья зайцев от времени, а через зависимость от времени поголовья волков. Совершенно ясно, что никакие биологические науки, столь далекие от физики и математики, не позволят вывести уравнения для этих зависимостей так, как Вы выводите уравнение, например, движения Земли вокруг Солнца по эллиптической орбите. Однако, наблюдая за многолетними изменениями поголовья волков и зайцев в лесах РФ можно построить достаточно приличную математическую модель и придать определенный смысл входящим в нее параметрам.

Предположим, что скорость роста поголовья зайцев пропорциональна числу зайцев и разности между скоростью их размножения в отсутствии волков и скорости поедания их волками:

.

Аналогично этому, скорость роста популяции волков пропорциональна численности волков и разности между скоростью поедания зайцев и скоростью их исчезновения при отсутствии питания:

.

Вот мы и получили систему из двух дифференциальных уравнений, описывающих изменение численности зайцев и волков во времени. Идентификация этой модели – это определение параметров , при которых модель будет давать результаты, согласующиеся с практикой.

Р ешением системы уравнений при некоторых значениях параметров могут быть кривые, представленные на рисунке.

Модели второго типа должны быть в первую очередь оперативными, то есть должны быстро идентифицироваться по результатам не очень сложных измерений. Поэтому часто приходится пользоваться упрощенными моделями.

Во многих случаях объект идентификации можно представить в форме модели Заде – в виде последовательного соединения нелинейной статической и линейной динамической системы. Это значительно упрощает процедуру идентификации системы, которая в этом случае может производиться раздельно для каждой из компонент.