3. Шкалы отношений

На множестве проявлений некоторых свойств, при их внимательном изучении, иногда удается экспериментально выделить трехмерные отношения , подобные сложению, такие, что для любых всегда найдется такое , что имеет место . Одновременно на носителе должны быть определены отношения порядка и эквивалентности . Операция должна при этом обладать следующими свойствами:

- ассоциативность, то есть ,

- коммутативность ,

- не имеет места, что говорит о бесконечности носителя,

- если неверно, то найдется такое что ,

- умножению элемента носителя на натуральное число равносильно -кратному выполнению операции с этим элементом: ,

- если , то для каждого существует такое , зависящее от , что .

Эмпирическая система с отношениями называется экстенсивной системой. Можно показать, что эта система гомоморфна числовой системе с отношениями , где - множество положительных действительных чисел. Наиболее яркое отличие экстенсивной системы от ранее рассмотренных систем заключается в возможности экспериментальной проверки адекватности операции сложения ( + ) действительных чисел операции сложения проявлений изучаемого свойства, то есть на множестве элементов носителя эмпирической системы.

Гомоморфизм образует шкалу отношений . Поскольку в эмпирической системе и в числовой системе определена (имеет смысл) операция сложения, то группа допустимых преобразований шкалы включает в себя только преобразование подобия. Это преобразования типа , где и - числовые представления измеряемой величины в двух шкалах, а - некоторая постоянная. Принято говорить, что шкала интервалов единственна до преобразования подобия. В отличие от шкалы интервалов в шкале отношений однозначно определен нуль .

В шкале отношений измеряются все физические величины - величины, входящие в уравнения физики. Поэтому в литературе по теории измерений можно встретить высказывания о том, что «в физике теория измерений не нужна».

3. Первичные и производные измерения

В метрологии принято деление измерений на прямые, косвенные, совокупные и совместные измерения. Если результаты прямых измерений получаются непосредственно из опыта, то остальные виды измерений требуют проведения вычислений с результатами прямых измерений.

В общей теории измерений принята иная терминология. Вместо прямых измерений говорят о фундаментальном¹² или первичном¹³ измерении. Вместо косвенных измерений рассматриваются производные измерения.

Первичное измерение определяется как построение шкалы посредством изоморфного отображения самой эмпирической системы с отношениями в числовую систему с отношениями. Производное измерение порождает новую шкалу на основе ранее построенных шкал. Если первичные измерения непосредственно связаны с эмпирической системой, то производные измерения зависят от других числовых представлений.

В физике используются только шкалы отношений, поэтому новая шкала также является шкалой отношений. Типичным примером является определение плотности с помощью шкал измерения массы и объёма. В других областях знаний дело обстоит гораздо сложнее. Здесь иногда приходится объединять разнородные шкалы и свойства новой шкалы требуют особого изучения.

Некоторые авторы вообще высказывают сомнения в разумности рассмотрения производных (косвенных) измерений как измерений вообще¹⁴. И. Пфанцагль считает, что «цель науки должна всегда заключаться в построении независимых фундаментальных шкал для свойств ……. вместо того, чтобы довольствоваться производными шкалами