2. Арифметизация а.А. Фридмана

Первые рассуждения по поводу трактовки репрезентативной теории измерения можно найти в книге А.А. Фридмана «Мир как пространство и время», вышедшей в 1922 году в Петрограде в издательстве «Наука и школа». В качестве эпиграфа взяты слова «Все мерою и числом сотворено еси» из «Книги Премудрости Соломоновой».

Автор предлагает сгруппировать в особые классы различные свойства объектов и явлений материального мира, относя к классу те свойства, которые обладают каким-либо общим признаком. Свойства, отнесенные к одному классу, могут проявляться с различными интенсивностями, совокупность которых образует множество (многообразие – у А.А. Фридмана), которое может обладать той или иной мощностью. Это означает, что это множество может быть приведено во взаимнооднозначное соответствие с множеством целых чисел, действительных чисел, или с множеством пар, троек и т.д. чисел. Каждому проявлению свойства из данного класса будет соответствовать одно и только одно число из выбранного числового множества. Установление правил приписывания чисел проявлениям свойства данного класса А.А. Фридман называет арифметизацией класса⁶.

2. Алгебраические системы а.И. Мальцева

Оформление репрезентативной теории измерений стало возможным после введения академиком А.И. Мальцевым понятия алгебраической системы. Альфред Тарский, родоначальник репрезентативной теории измерений, совместно с американскими математиками Л. Хенкин и Д. Монк, посвятил памяти А.И.Мальцева свою книгу «Цилиндрические алгебры», предварив ее словами: «Посвящается профессору Анатолию Ивановичу Мальцеву, указавшему путь из логики в алгебру».

Алгебраической системой по А.И. Мальцеву называется объект , состоящий из трех множеств:

- произвольное множество некоторых элементов, которое называется носителем алгебраической системы,

- множество операций , определенных на множестве и ставящих в соответствие нескольким элементам множества новый элемент, который, однако, тоже принадлежит множеству ,

- множество возможных отношений , в которые могут вступать друг с другом элементы множества .

В определении алгебраической системы нигде не уточняется состав множества . Это может быть множество всех действительных чисел и тогда множество алгебраических операций включает в себя, в частности, операции сложения и умножения, но это может быть, например, и множество значений рейтинга телевизионных каналов с отношениями равенства и порядка. Отвлечение от конкретного содержания носителя позволяет применять теорию алгебраических систем в самых различных областях знаний.

Алгебраическая система, не содержащая операций, называется моделью, при отсутствии отношений система называется алгеброй.

Операция называется - арной, если для получения результата используется элементов носителя. Аналогично этому и отношение называется - арным, если в нем учувствуют элементов носителя. Тип алгебраической системы определяется как набор арностей операций и отношений .

Так, например, алгебраическая система на множестве натуральных чисел относится к типу , поскольку операции сложения и умножения и отношение строго порядка определены для каждой пары натуральных чисел. Система не является алгебраической, поскольку операция деления отнюдь не для всех натуральных чисел определяет натуральное число.

Алгебраическая система на множестве значений твердости материалов является моделью, но не алгеброй. На множестве не определены операции (нет возможности поставить эксперимент, который бы доказывал, что твердость одного образца равна сумме или произведению твердостей двух других образцов), но можно определить отношения эквивалентности (два образца одинаковы по твердости) и строго порядка (один образец тверже другого).

Для изучения соотношений между свойствами носителей, операциями и отношениями над элементами носителей вводится понятие изоморфизма алгебраических систем.

Две алгебраические системы и одного типа, то есть одинакового набора арностей операций и отношений, называются изоморфными, если существует взаимнооднозначное отображение (изоморфизм) между элементами множества и множества , сохраняющее все возможные операции и отношения между ними. Требование изоморфизма зачастую оказывается слишком строгим, поэтому чаще оказывается достаточным условие гомоморфизма алгебраических систем, при котором снимается условие взаимной однозначности отображения , то есть некоторые элементы множества могут иметь один элемент множества в качестве своего образа.