58. Парабола. Определение. Вывод канонического уравнение параболы.

Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы – параметр параболы (p>0).-полуфокальный диаметр.

Парабола есть линия второго порядка.

М(х,у) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F, проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF=MN. По формуле расстояния между 2 точкам находим: =>

= =>

=>

Каноническое уравнение параболы: y² = 2px.

59. Исследование общего уравнения линии 2 порядка в случае отсутствия члена с произведением текущих координат.

60. Сфера. Определение. Вывод канонического уравнения.

Сфера радиуса R с центром в точке S (a; b; c):

Эллипсоид Каноническое уравнение:

61. Цилиндрические поверхности.

Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую K, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром при этом кривая К – направляющая цилиндра, а L – его образующая.

Эллиптический цилиндр

Эллиптическое уравнение:

Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение x² + y² = R². Уравнение x²=2pz определяет в пространстве параболический цилиндр.

Уравнение: определяет в пространстве гиперболический цилиндр.

Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат x, y, z.

62. Эллипсоиды.

Исследуем поверхность, заданную уравнением:

Рассмотрим сечения поверхности с плоскостями, параллельными плоскости xOy. Уравнения таких плоскостей: z=h,где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя ур-ниями:

z=h .

Исследуем поверхность:

А) если то Линия пересечения поверхности с плоскостями z=h не существует.

Б) если , линия пересечения вырождается в две точки (0,0,с), и (0,0,-с). Плоскости z = c, z = - c касается данной поверхности.

В) если , то уравнения можно переписать в виде: , как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями а1 = , b1 = . При этом, чем меньше h, тем больше полуоси. При н=0 они достигают своих наибольших значений. а1=а, b1=b. Уравнения примут вид:

h=0.

Рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность как замкнутую овальную поверхность. Поверхность называется эллипсоидами., если какие-либо полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, а если а=b=c, то в сферу.