21. Расстояние между двумя точками.

Расстояние d между точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) плоскости определяется по формуле:

22. Деление отрезка в данном отношении.

Если x₁ и y₁ - координаты точки A, а x₂ и y₂ - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении  , определяются по формулам Если  , то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам ;

23. Направление вектора в пространстве.

Вектором называется упорядоченная пара точек. Первая точка называется началом вектора, вторая — концом вектора. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым, его длина равна нулю.Если длина вектора положительна, то его называют ненулевым.Ненулевой вектор можно определить также как направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек считается первой (началом вектора), а другая — второй (концом вектора). Направление нулевого вектора, естественно, не определено.

24. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярное произведение векторов - число = произвед длин на косинус между ними. Скалярное произ 2х векторов = модулю одного умноженного на проекцию другого на соноправленную с 1-ым вектором ось. Свойства: 1. a*b=b*a 2. (C*a)*b=C*(a*b) 3. a(b+c)=a*c+b*c; 4. 5. (a, b) = 0 => 6. ij = jk = kj = 0. Теорема 1: в пространстве R³ в ортонормированном базисе : Следствие из Т1: Для вектора : Механический смысл скалярного произведения: Пусть - сила, которая перемещает тело в направлении вектора S ( на длину ) =>

25. Механический смысл скалярного произведения.

Физический смысл: если матер. точка проходит путь S под действием силы F, то работа совершаемая при этом равна: A = FS = FScos

26. Ортонормированный базис. Выражение скалярного произведения через координаты в ортонормированном базисе.

Базис называется ортонормированным, если базисные векторы попарно ортогональны и длина каждого из них =1. Декартова система координат с ортонормированным базисом i,j,k называется прямоугольной системой координат, а векторы i,j,k ортами координатных осей. AB=xi+yi+ji

27. Векторное произведение векторов и его свойства.

Три некомпланарных вектора a, b, с взяты в указанном порядке и образуют правую тройку, если с конца 3-его вектора с кратчайший поворот от 1-ого a ко 2-ому b видим совершающийся против часовой стрелки, и левую – если по часовой.

Векторное произведение вектора a на b - это c, который:

1)с перпендикулярно a и b;

2)имеет длину, численно равную площади параллельного, параллелограмма на векторах |c|=|a|*|b|*sinσ; 3) векторы a, b, с образ правую тройку.

Замечание: Из определения вытекает след соотношения между ортами ijk:

1. i*j=k;

2. j*k=i;

3. k*i=j;

Свойства:

1)векторное произ при перестановке множителей меняет знак. ( )

2)два ненулевых вектора коллинеарны, когда их векторное произв =0.

Пункты: 1)условие коллиниарности: a//b => a*b=0;

2)нахождение S параллелограмма и S треуг. Sпар= sin . Sтр=0,5*

3)определение момента силы. |M|=|F|*|S|.

Теорема: ,

28. Механический смысл векторного произведения.

Механический смысл скалярного произведения векторов. Скалярное произведение силы F на вектор перемещения S равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору S: A = FS

29. Векторное произведение в координатах.

Векторное произведение в координатах  Если    , то  или  или 

30. Приложение векторного произведения в геометрии и механике.

1)коллинеарность условие: ax/bx=ay/by=az/bz

2)Если F приложена к точке А то вращательный момент силы под действием

которой А вращается вокруг неподвижной точки О: М=ОАxА =ОАFsin

3)линейная скорость: V = w x r.

31. Смешанное произведение, геометрический смысл. Свойства смешанного произведения.

Смешанное произведение 3х векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятого со знаком + (-), если эти векторы образуют правую (левую) тройку.

Свойства:

1)смешанное произв не меняется при циклической перестановке его множителей.

( .

2)смешанное произв меняет знак при перемене мест любых букв любых сомножителей

3)смешанное произ ненулевых векторов =0 тога, когда они компланарны.

Смешанное произ векторов = определителю 3-его порядка, составленного из координат перемноженных векторов. Приложение. 1)определение взаимных ориентаций векторов в пространстве: если >0 ( <0), то правая (левая) тройка векторов 2)комплонарность векторов: компланарны, когда их произв =0. 3)Геометрический смысл: Vпараллелепипеда= . Vтр=1/6( ). Вычисление: ,