3. Миноры и алгебраические дополнения.

Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

При выписывании определителя (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца: то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.

4. Теорема замещения.

Суммы произведений произвольных чисел bi ,b2,...,b на алгебраические дополнения элементов любого столбца или строки матрицы порядка n равны определителю матрицы, которая получается из данной заменой элементов этого столбца (строки)числами b1,b2,...,bn.

5. Теорема аннулирования.

Сумма, произведений элементов одного из столбцов (строк) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого столбца (строки) равна нулю.

6. Некоторые методы вычисления определителей.

Теорема (Лапласа). Определитель матрицы порядка N = сумме произведения всех миноров k-го порядка которые можно составить из произвольно выбранных k параллельных рядов и алгебраических дополнений этих миноров

Теорема (о разложении определителя по элементам ряда). Определитель кв. матрицы=сумме произведений элементов некоторого ряда и алгебраических

дополнений этих элементов

7. Умножение матриц. Свойства умножения.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы А_m*n = (a_i,g) на матрицу В_n*p = (b_i,k) называется матрица Сm*p = (с_i,k) такая, что: ,

где i= , , т.е. элемент i-той и k-ого столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы к-ого столбца матрицы В.

Матрицы А, n*m и В, m*n, назыв. согласованными. (если А согласованно с В, то это не значит, что В согласованно с А).

Смысл согласованности в том, чтобы количество столбцов 1-ой матрицы совпадало с количеством строк 2-ой матрицы. Для согласованных матриц можно определить операцию умножения.

Если матрицы A и B квадратные и одного размера, то A*B и B*A всегда существуют. Транспонированием называется смена всех элементов столбца соотв элементами строки. Если A^T=A, то матрица А наз. симметричная (она обязательно квадратная).

8. Транспонирование матриц.

Транспонированная матрица — матрица  , полученная из исходной матрицы   заменой строк на столбцы. Формально, транспонированная матрица для матрицы   размеров   — матрица   размеров  , определённая как A^T[i, j] = A[j, i]. Например,

      и