1Исследование ф-ций и построение их графиков с помощью дифференциального исчисления.
а)убывание\возрастание ф-ции на интервале АВ
б)экстремум ф-ции(необходимое условие существования экстремума)
Теорема
(необходимое условие экстремума).
Если дифференцируемая функция y=f(x)
имеет экстремум в точке
,
то ее производная в этой точке равна
нулю:
.
Док-во:
Пусть, для определенности,
-точка
максимума. Значит, в окрестности точки
выполняется неравенство
.
Но тогда
,
если
>0,
и
,
если
<0.
По условию теоремы производная
существует. Переходя к пределу, при
,
получим
,
если
<0
и
,
если
>0.
Поэтому :
.
в) достаточное условие для существования экстремума
Теорема
(достаточное условие экстремума): Если
непрерывная функция f(x)
дифференцируема в некоторой
-окрестности
и критической точки
и при переходе через нее 9слева направо)
производная
меняет
знак с плюса на минус, то
есть точка максимума; с минуса на плюс,
то
-точка
минимума. Док-во:
рассмотрим
-окрестность
точки
.
Пусть выполняются условия:
и
.
Тогда функция f(x)
возрастает на интервале
,
а на интервале
она убывает. Отсюда следует, что значение
f(x)
в точке
является наибольшим на интервале
,
т.е. f(x)<f(
)
для всех
.
Это и означает, что
- точка максимума функции.
г)точки перегиба графика ф-ции (необходимое и достаочное условия) существования точек перегиба)
Достаточное
условие точки перегиба:
Пусть f
- дважды дифференцируемая функция в
окрестности
и
или
не
существует. Если при этом для любых
,
а для любых
,
то
- точка перегиба.
д) асимптоты графика: вертикальные, наклонные и горизонтальные
е) Общая схема исследования ф-ции и построения графика. Наибольшее и наименьшее значение ф-ции на отрезке
Общая
схема исследования функции.
1. Находим область определения D(x).
2. Находим точки разрыва второго род,
обозначаем вертикальные асимптоты. 3.
Исследуем функцию на четность/нечетность,
периодичность. 4. Находим точки пересечения
с Ox
и Oy.
С Ox:
x=o,
y-?.
C
Oy:
y=0,
x-?
5. Находим наклонные асимптоты, если
они есть. 6. Исследуем функцию на наличие
критических точек. Решаем уравнение
.
7. Определяем промежутки монотонности.
8. Находим вторую производную и точки,
для которых она равна 0 или не существует.
9. Находим промежутки знакопостоянства
второй производной. 10. Составляем
таблицу. 11. на основе таблицы определяем
точки локального экстремума и точки
перегиба.