
- •Матрицы. Основные понятия. Линейные операции над матрицами и их свойства.
- •Определитель матрицы. Свойства определителей.
- •Миноры и алгебраические дополнения.
- •Теорема замещения.
- •Теорема аннулирования.
- •Некоторые методы вычисления определителей.
- •Умножение матриц. Свойства умножения.
- •Транспонирование матриц.
- •Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы.
- •Матричная запись системы линейных уравнений и её решения.
- •Решение невырожденных линейных систем, формулы Крамера.
- •Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •Теорема Кронекера - Капелле. Решение произвольных линейных систем.
- •Система однородных линейных уравнений.
- •Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •Вектор. Проекция вектора на ось.
- •Теорема об единственности разложения вектора по базису. Координаты вектора. Декартова система координат.
- •Расстояние между двумя точками.
- •Деление отрезка в данном отношении.
- •Направление вектора в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •Механический смысл скалярного произведения.
- •Ортонормированный базис. Выражение скалярного произведения через координаты в ортонормированном базисе.
- •Векторное произведение векторов и его свойства.
- •Смешанное произведение векторов в координатах.
- •Условия коллинеарности, ортогональности, компланарности векторов.
- •Нормальное уравнение плоскости.
- •Общее уравнение плоскости. Частные случаи расположения плоскости.
- •Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Определение точек пересечения прямой и плоскости.
- •Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения.
- •Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения. Исследование формыэллипса.
- •Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения гиперболы. Исследование формы гиперболы.
- •Парабола. Определение. Вывод канонического уравнение параболы.
- •Исследование общего уравнения линии 2 порядка в случае отсутствия члена с произведением текущих координат.
- •Сфера. Определение. Вывод канонического уравнения.
- •Цилиндрические поверхности.
- •Эллипсоиды.
- •Гиперболоиды.
- •Параболоиды.
- •Канонические поверхности.
- •Функция. Основные понятия. Способы её задания.
- •Числовая последовательность и её предел.
- •Последовательность. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- •Число е. Натуральные логарифмы.
- •Конечный предел функции.
- •Бесконечный предел функции.
- •Односторонние пределы.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между б.М и б.Б функциями.
- •Предел суммы, произведения, частного.
- •Теорема о промежуточной функции
- •Первый замечательны предел.
- •Второй замечательный предел.
- •Сравнение б.М функций. Эквивалентные б.М функции.
- •Свойства эквивалентные б.М функций.
- •Непрерывность функции в точке. Определение. Свойства функций, непрерывных в точке.
- •Непрерывность функции на отрезке.
- •Свойства функций, непрерывных в отрезке. Точки разрыва и их классификация.
- •Производная. Определение. Механический и геометрический смысл производной.
- •Дифференцируемость функции. Определение. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
- •Основные правила дифференцируемости.
- •Производная сложной функции.
- •Производная обратной функции.
- •Гиперболические функции и их дифференцирование.
- •Дифференцирование функций, заданной неявно.
- •Дифференцирование функций, заданной параметрически.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Теорема Ролля. Геометрический смысл теоремы Ролля.
- •Теорема Лагранжа. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
- •Теорема Коши
- •Правило Лопиталя и его применение к вычислению переводов.
- •Формула Тейлора и её приложение.
- •1Исследование ф-ций и построение их графиков с помощью дифференциального исчисления.
Производная обратной функции.
Производная обратной функции: y = f(х) с областью определения Д и значений Е. Если обратное ей соответствие таково, что для каждого у є Е, определяется единственное значение х є Д, то мы получим обратную функцию. Обратная – х = f -1 (у)Пусть y = f(х) имеет в точке хО производную f (xO) = lim x 0 y / х. Чтобы найти производную обратной функции нужно найти предел lim x 0 х / у = (f -1 (yO))Вследствие непрерывности функции y = f(х) при x0 у0, тогда lim x 0 х / у = 1 / f (хO).Производные обратных функций обратны по величине:
х (уO) = 1 / f (хO) f (хO) 0
у (хO) = 1 / f (уO) f (уO) 0
Производные основных элементарных функций: sinu, cosu, tgu, ctgu, un, au, eu, lnu, logu, arcsinu, arcosu, arcctgu, гдеu = u(x).
Производные основных элементарных функций.
1)С
= 0; 9)
2)(xm)
= mxm-1;
10)
3)
11)
4)
12)
5)
13)
6)
14)
7)
15)
8)
16)
Гиперболические функции и их дифференцирование.
Гиперболические функции: Встречаются различные комбинации показательных функций. Их рассматривают как новые функции:
Гип. синус – Sh - (ex – e-x) /2
Гип. косинус - Ch – (ex + e-x) / 2
Гип. тангенс – th - (ex – e-x / 2) / (ex + e-x / 2)
Гип. котангенс – cth - (ex + e-x / 2) / (ex – e-x / 2)
(Sh x) = Ch x (Ch x) = - Sh x
(th x) = 1 / Ch2 x (cth x) = - 1/ Sh2 x
Дифференцирование функций, заданной неявно.
Пусть функция y f x = ( ) задана уравнением F x y ( , ) = 0 . В этом случае говорят, что функция задана неявно . Для нахождения производной считаем, что в уравнении y зависит от x ,иначе. Другими словами дифференцируем уравнение , считая сложной функцией, зависящей отF x y x , ( ) = 0 F x y x , ( ) = 0 y x .
Дифференцирование функций, заданной параметрически.
Пусть
Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = (t) имеет обратную функцию t = Ф(х).
Тогда функция у = (t) может быть рассмотрена как сложная функция y = [Ф(х)].
т.к.
Ф(х) – обратная функция, то
Окончательно
получаем:
Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.
Дифференциал функции. Его связь с производной.
Дифференциал
функции - это
произведение производной f ’( x0 ) и
приращения аргумента
:
df = f ’( x0 ) ·
.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Если приращение delt x аргумента мало по абсолютной величине,то delt y приблизительно равно dy и получаем формулу приближенных вычеслений с помошью дифферинциалов f (xO +delt x) приблизительно равно f (xO) + f `(xO) delt x
Геометрический смысл дифференциала.
Из
треугольника MKL:
KL
= dy
= tgx
= yx
Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.
Основные правила и формулы нахождения дифференциала (таблица дифференциалов, дифференциал постоянной, суммы, произведения, частного).
Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u v) = u v
2) (uv) = uv + uv
3) , если v 0
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
Инвариантная форма записи дифференциала.
Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.
Тогда dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.
Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.
Однако, если х- независимая переменная, тот dx = x, но если х зависит от t, то х dx.
Таким образом форма записи dy = f(x)x не является инвариантной.