72. Односторонние пределы.

число А называется пределом функции слева в точке x₀, если для любого число >0 существует число = ( )>0 такое, что при выполняется неравенство .

Предел слева записывают так:

Аналогично определяется предел функции справа:

.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

73. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между б.М и б.Б функциями.

Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа M>0 существует число = (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство . Записывают . Коротко:

Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа M>0 найдется такое число N=N (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Коротко:

Всякая бесконечно большая функция в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности.

Бесконечно малая функция: Функция называется бесконечно малой при , если : для любого числа >0 найдется число >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство .

Теорема: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Теорема: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Следствие: так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы вытекает произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие: произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема: частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема: если функция - бесконечно малая, то обратная ей функция – бесконечно большая и наоборот.

74. Теорема о разности между функцией и её пределом.

Если функция   имеет предел  , то разность между функцией и значением предела есть функция, бесконечно малая при  .

75. Ограниченная функция. Теорема об ограниченности функции.

Если функция f(x) имеет предел в точке a  ,то она ограниченна

в некоторой окрестности точки a.

76. Теорема о произведении б.м функции на ограниченную

Произведение бесконечно малой при   функции на ограниченную в

некоторой окрестности точки а функцию есть бесконечно малая функция при  .

77. Теорема о делении б.м функции на функцию, предел которой отличен от 0.

78. Теорема о единственности предела функции. Теорема о существовании предела.

Теорема о существовании предела.Функция не может иметь более одного предела.

Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки  , за исключением, может быть, самой точки  , то либо они имеют один и тот же предел при  , либо обе не имеют предела в этой точке. Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел.

79. Теорема сравнения.

в теории дифференциальных уравнений- теорема, утверждающая наличие определенного свойства решений дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений) в предположении, что некоторым свойством обладает вспомогательное уравнение или неравенство (система дифференциальных уравнении пли неравенств).

1) Теорема Ш т у р м а: любое нетривиальное решение уравнения обращается в нуль на отрезке [t0, t1] не более т раз если этим свойством обладает уравнение и при .

2) Дифференциальное неравенство: решение задачи покомпонентно неотрицательно при если этим свойством обладает решение задачи и выполнены неравенства