Модель идеального вытеснения:

,

(5.12)

С начальными и граничными условиями: (5.13)

Где: сi – концентрация I-го компонента, wij- скорость расхода (или образования) I-го компонента в j-й реакции. Нj – тепловой эффект j-й реакции

T- температура в реакционной зоне, К, Т_х –температура в теплообменной рубашке, К. k_T- коэффициент теплопередачи, кВт/(м²К)

d_ап- диаметр аппарата, d_эр – приведенный диаметр поперечного сечения теплообменной рубашки

Для этой же системы реакций при использовании диффузионной модели структуры потоков, модель реактора будет выглядеть следующим образом:

(5.14)

Где Ре_М- критерий Пекле для описания переноса массы за счет обратного перемешивания, Ре_Т критерий Пекле для переноса тепла за счет обратного перемешивания. Практически эти критерии при существенном влиянии конвективных потоков будут одинаковы. Для движения теплоносителя в теплообменной рубашке используется обычно модель идеального вытеснения, так как в рубашке имеется обычно малое сечение и высокие скорости потока.

Источниковые и стоковые члены в уравнениях математической модели записываются на основании уравнений химической кинетики, рассмотренных нами в разделе «Кинетика». Таким образом, мы провели в соответствии со схемой разработки математических моделей, приведенной на рис. 3.1 структурный анализ процессов, происходящих в технологических объектах, получили описание отдельных процессов, а затем провели синтез модели на основании моделей отдельных блоков, составляющих сложный процесс. Таким же образом можно провести синтез моделей и на основе комбинированных моделей гидродинамки, рассмотренных нами в разделе «Структура потоков»

Например, для ячеечной модели, математическая модель с учетом кинетики, будет выглядеть следующим образом:

(5.15)

Где k =1, 2…,К – номер реактора в каскаде.

Аналогичным образом можно получить математические модели с использованием модели структуры потока и системы кинетических уравнений для протекающих реакций.

,

Раздел 6. Методы численной реализации математических моделей.

Как показывают результаты анализа полученных моделей в аппаратах различных типов, математические модели технологических объектов в аппаратах различных типов представляют собой системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений для описания неустановившихся процессов в аппаратах идеального перемешивания:

(6.1)

Для описания процессов в аппаратах с распределенными параметрами применяются уравнения в частных производных:

Для модели идеального вытеснения:

(6.2)

Для диффузионной модели в виде

(6.3)

. Для проектных расчетов и определения оптимальных условий нас интересует, прежде всего, расчет процесса в установившемся режиме. Для этого случая уравнения математических моделей будут иметь следующий вид:

Для модели идеального перемешивания дифференциальные уравнения могут быть преобразованы в нелинейные алгебраические уравнения.

(6.1а)

Для модели идеального вытеснения уравнения в частных производных преобразуются в обыкновенные нелинейные дифференциальные уравнения:

(6.2а)

А для диффузионной модели уравнения для стационарного режима преобразуются в дифференциальные уравнения 2-го порядка с краевыми условиями, заданными на разных концах интервала интегрирования:

(6.3а)

С краевыми условиями:

(6.4)

Решение уравнений модели идеального перемешивания, описывающих стационарный режим работы аппарата, могут быть выполнены для простых реакций. Например, если в реакторе идеального перемешивания протекает необратимая реакция 1-го порядка типа

(6.5)

математическая модель такого реактора имеет следующий вид:

(6.6)

Здесь параметр – обозначает тот максимальный разогрев, который будет иметь место в реакции, если весь реагент, соответствующий концентрации с_А0 вступит в реакцию и все выделившееся тепло будет израсходовано на подогрев реакционной смеси.

При анализе процессов в технологических аппаратах обычно используют для характеристики процесса степень превращения исходного вещества в продукт реакции:

(6.7)

Подставив в полученное выражение ранее полученное значение , получим для степени превращения следующее уравненение:

(6.8)

На основе полученных уравнений можно легко получить выражения для решения уравнений математической модели для реакции 1-го порядка, протекающей в каскаде аппаратов, т.е. для ячеечной модели.

Ранее мы получили уравнение для описания процесса в одном аппарате каскада.

Для произвольного аппарата каскада математическая модель будет иметь следующий вид:

(6.9)

Пусть в каскаде расположено n реакторов разного объема. Тогда последовательно применяя полученную рекуррентную формулу к первому, второму и т.д. аппаратам каскада, получим следующие выражения:

(6.10)

Используя это выражение и уравнение для степени превращения, можно получить следующее уравнение для степени превращения на выходе из каскада реакторов, в котором протекает необратимая реакция 1-го порядка:

(6.11)

Для более сложных схем реакций решения для расчета стационарного режима работы реакторов идеального перемешивания необходимо решать системы нелинейных алгебраических уравнений, что сопряжено с большими вычислительными трудностями.

Решение уравнений модели, описывающих стационарный режим работы реакторов, может быть выполнено с применением численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями. Для этого для решения уравнений модели идеального перемешивания нужно использовать модель динамического режима в виде уравнений (6.1) так как их проще решать, чем нелинейные алгебраические уравнения (6.1а). Такой метод называется методом стационирования, так как динамическая модель обеспечивает выход процесса к установившемуся стационарному режиму, который и представляет собой решение системы алгебраических уравнений (6.1а). Рассмотрим применение этого подхода для решения уравнений математической модели в реакторе идеального перемешивания, в котором протекают последовательные реакции 1-го порядка.

(6.12)

Математическая модель такого реактора в стационарном состоянии имеет следующий вид:

(6.13)

Запишем уравнения этой модели для нестационарного режима:

Разобьем временную ось на дискретные участки t и выразим непрерывную переменную время в виде . Заменим производные концентраций по времени их конечно разностными эквивалентами:

(6.15)

При подстановке полученных выражений для производных в систему (6.14) система уравнений математической модели запишется в следующем виде:

(6.16)

В итоге можно получить следующие рекуррентные соотношения для вычисления концентраций в различные моменты времени, последовательно придавая переменной i значения i=1,2,…,k.

После каждого шага проверяется условие выхода на стационарный режим:

(6.17)

где  - заданная точность выхода на стационарный режим.

На рисунке (6.1) показаны результаты реализации этого метода для рассмотренного примера.

Рис.6.1 Выход на стационарный режим реактора идеального перемешивания, в

котором протекают последовательные реакции 1-го порядка.

Постоянные значения концентрация реагентов соответствуют установившемуся режиму работы проточного реактора идеального перемешивания.

Решение уравнений модели идеального вытеснения может быть также легко получено путем решения численным методом уравнения модели идеального вытеснения в виде системы (6.2а).

На следующем рисунке 6.2 показано решение такой модели для реактора идеального вытеснения, в котором протекают те же последовательные реакции 1-го порядка, как и в реакторе идеального перемешивания описываемые схемой (6.12).

Математическая модель такого реактора имеет следующий вид:

(6.18)

Результаты решения этой системы уравнений представлены на рис.6.2.

Рис.6.2 Стационарный профиль концентраций для последовательных реакций в

реакторе идеального вытеснения.

Для диффузионной модели получить стационарное решение уравнений модели с произвольной кинетикой не так просто. В этом случае также используют нестационарную модель и применяют метод стационирования, однако предварительно необходимо преобразовать систему уравнений (6.3) к конечно-разностному виду по пространственной координате. Такой прием позволяет перейти от краевой задачи для стационарного режима, описываемой системой (6.3а) к задаче с начальными условиями, которая легко решается численными методами.

Рассмотрим этот подход на преобразовании одного уравнения системы (6.3) для случая одной реакции 1-го порядка для сокращения записей.

Запишем это уравнение в следующем виде:

(6.19)

Вернемся к рисунку схемы потоков в аппарате, описываемой диффузионной моделью

Рис.3.4.1. Схема потоков в аппарате, описываемом диффузионной моделью.

V=SL – объем аппарата, S=d²/4 – площадь поперечного сечения, L – длина аппарата. Стрелками в обратном направлении обозначен перенос вещества в обратном направлении за счет конвективной диффузии или продольной дисперсии

Запишем конечно-разностные эквиваленты производных для приведенной структуры потоков.

(6.20)

Подставим полученные конечно-разностные эквиваленты производных в исходное уравнение (6.19):

(6.21)

При этом индекс изменяется в пределах j =1,…,N-1. Для j=0 и j=N уравнения должны быть определены из граничных условий. Для j=N

(6.22)

Для j=0

(6.23)

Таким образом, мы имеем N-1 уравнений, описываемых системой (6.21), уравнение для N-й переменной описываемой равенством (6.22) и уравнение для 0-й переменной, описываемое равенством (6.23).

Система полностью определена и может быть решена при известных начальных условиях с применением любого численного метода интегрирования дифференциальных уравнений, рассмотренного ранее.