2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

найти:

Формула для вычисления приближённого значения.

12. Производная сложной и обратной функций.

1. Производная сложной ф-ции.

Пусть переменная есть функция от переменной переменная в свою очередь есть функция от независимой переменной ,т.е. задана сложная функция .

Теорема. Если - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции существует по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной ,т.е. .

Дадим независимой переменной приращение . Тогда функции соответственно получат приглашение

Предположим, что Тогда в силу дифференцируемости функции можно записать

Где

На основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций , откуда

Это равенство будет справедливо и при , если полагать, что (т.е. доопределит таким образом функцию при

Разделив обе части равенства: на

.

Т.к. по условию функция

Поэтому, переходя к пределу при в равенстве получим

.

Замечание. Если ограничиться случаями , что при , доказательство теоремы можно провести проще, исходя из очевидного равенства

и переходя в нём к пределу при ч.т.д.

2. Производная обратной функций.

Пусть - дифференцируемая и строго монотонная функция на некотором промежутке X. Если переменную рассматривать как аргумент, а переменную как ф-цию, то новая функция

Является обратной к данной и, как можно показать, непрерывной на соответствующем промежутке

Теорема. Для дифференцируемой ф-ции с производной , не равной нулю, производная обратной ы-ции равна обратной величине производной данной ф-ции , т.е. .

Док-ство: По условию ,дифференцируема и .

Пусть

.

Переходя к пределу в равенстве при

. Ч.т.д.

12. Монотонность функции. Критерии возрастания и убывания функции на интервале.

Возрастающие и убывающие функции объединяют общим понятием: монотонные функции.

Монотонная функция – это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y тоже возрастает, то это возрастающая функция.

Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y убывает, то это убывающая функция.

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Функция постоянна (немонотонна), если она не убывает и не возрастает.

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).

На показанном на рисунке графике функция y = f (x),………………….возрастает на каждом из промежутков [a; x1) и (x2; b] и убывает на промежутке (x1; x2). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [a; x1) и (x2; b], но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x1 < x2 – корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x1) = f (x2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

• Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.

• Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.

• Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.

• Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.

• Если функция f возрастает и неотрицательна, то ……… где…….. , также возрастает.

• Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f n также возрастает.

• Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

• Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Рисунок 1.3.5.1.Промежутки возрастания и убывания функции