Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим односторонние
пределы 
и 
и
докажем, что они равны 1.
Пусть 
.
Отложим этот угол на единичной окружности
(
).
Точка K —
точка пересечения луча с окружностью,
а точка L —
с касательной к единичной окружности
в точке 
.
Точка H —
проекция точки K на
ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где 
—
площадь сектора 
)
(из 
: 
)
Подставляя в (1), получим:
Так
как при 
:
Умножаем
на 
:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
Доказательства
Второй замечательный предел
или 
Доказательство второго замечательного предела:
Доказательство для натуральных значений
Докажем
вначале теорему для случая
последовательности 
По
формуле бинома
Ньютона: 
Полагая 
,
получим:
(1)
Из
данного равенства (1) следует, что с
увеличением n число положительных
слагаемых в правой части увеличивается.
Кроме того, при увеличении n число 
убывает,
поэтому величины 
возрастают.
Поэтому последовательность 
— возрастающая,
при этом
(2).
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство
Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
.
Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
.
Поэтому 
(3).
Итак,
последовательность ограничена сверху,
при этом 
выполняются
неравенства (2) и (3): 
.
Следовательно,
на основании теоремы Вейерштрасса
(критерий сходимости последовательности)
последовательность 
монотонно
возрастает и ограниченна, значит имеет
предел, обозначаемый буквой e.
Т.е. 
Зная, что второй
замечательный предел верен для натуральных
значений x, докажем второй замечательный
предел для вещественных x, то есть
докажем, что 
.
Рассмотрим два случая:
1.
Пусть 
.
Каждое значение x заключено между двумя
положительными целыми числами: 
,
где 
—
это целая часть x.
Отсюда
следует: 
,
поэтому
.
Если
,
то 
.
Поэтому, согласно пределу
,
имеем:
.
По
признаку (о пределе промежуточной
функции) существования пределов 
.
2.
Пусть 
.
Сделаем подстановку 
,
тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Следствия
для 
, 
Доказательства следствий
Дифференциал функции. Приближённые вычисления с помощью дифференциала.
Дифференциал функции. Опр. Дифференциал функции называется главная линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной .
Понятие дифференциала:
Пусть
функция
,
определена на промежутке Х и дифференцируема
в некоторой окрестности точки
.
Тогда существует конечная производная
=f’(x).
На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами ф-ций можно записать
Где
-бесконечно
малая величина при
,
откуда
.
Таким
образом, приращение ф-ции
состоит из двух слагаемых: 1)линейного
относительно
;2) нелинейного (представляющего бесконечно
малую более высокого прядка, чем
,
ибо
=0).
Орп.
Дифференциалом ф-ции называется главная,
линейная относительно
часть приращения ф-ции, равная произведению
производной на приращение независимой
переменной
.
Дифференциал ф-ции независимой переменой равен приращению этой переменной. Т.к.
Прим.
Найти диффрнц. ф-ции
.
Решение:
,
откуда
.
Поэтому формулу для
дифференцирования ф-ции можно записать
в виде
,
откуда
еперь
мы видим, что
не
просто символическое обозначение
производной , а обычная дробь с числителем
и
знаменателем
.
Т.е. геометрический смысл дифференцируемости f(x) в точке х
0 состоит в том, что расстояние от точки на ее графике до соответствующей
на касательной стремится к нулю "быстрее", чем ∆х.
Свойства дифференциала.
С-ва дифференц, фактически аналогичны свойствам производной, одним из отличительных свойств явл. с-во инвариантности форм дифференциала(6).
