Сложение

При объединении двух наборов, содержащих некоторое количество предметов, новый набор будет иметь столько предметов, сколько было в первых двух наборах в сумме. Если первый набор содержал   предметов, а второй —   предметов, то их сумма будет содержать   предметов. Указанное действие носит название сложение, определяется символом «+» и является простейшей бинарной операцией. Из данного определения очевидным образом следуют коммутативный и ассоциативный законы сложения. При аддитивной системе нумерации не обязательно знать таблицу сложения, достаточно осуществить пересчёт.

В 1810 году чешский математик Больцано определил действие сложения для натуральных чисел следующим образом:  . Независимо от него подобное определение дали немецкие математики Грассман в 1861 году и Ганкель в 1869 году. В «Энциклопедии элементарной математики» даётся следующее определение сложения натуральных чисел:

Определение. Сложением натуральных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре натуральных чисел   и   сопоставляет одно и только одно натуральное число  , обладающее следующими свойствами:

•  для любого  ,

•  для любых   и  .

Сложение натуральных чисел всегда выполнимо и однозначно.

Умножение

Последовательное сложение элементов нескольких одинаковых множеств не зависит от порядка этих множеств, что позволило определить другую бинарную операцию — умножение. Очевидно, что для умножения выполняется коммутативный закон. Помимо умножения в древности существовало отдельное арифметическое действие — удвоение, или умножение на два.

Умножение, как и сложение, определили независимо Больцано, Грассман и Ганкель. Умножение натуральных чисел выполняется по следующей формуле:  . В Энциклопедии элементарной математики даётся следующее определение умножения натуральных чисел:

Определение. Умножением натуральных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре натуральных чисел   и   сопоставляет одно и только одно натуральное число   ( ), обладающее следующими свойствами:

•  для любого  ,

•  для любых   и  .

Умножение натуральных чисел всегда выполнимо и однозначно. Для него выполняются законы дистрибутивности (левый и правый), коммутативности и ассоциативности.

Вычитание

Вычитание является операцией обратной сложению. Иными словами, результатом разности двух чисел   и   является корень уравнения  . Для разности натуральных чисел результат не всегда является натуральным числом. При выполнении операции применялось два приёма: отсчитывание от уменьшаемого числа единиц вычитаемого, или прибавление к вычитаемому такого числа, чтобы получилось уменьшаемое.

Термин лат. «subtractio», или вычитание, появился ещё у Боэция, термины вычитаемое и уменьшаемое ввёл в обиход Вольф в 1716 году}, лат. «differentia», или разность, — Видман в 1489 году. В Энциклопедии элементарной математики даётся следующее определение вычитания натуральных чисел:

Определение. Вычитанием натуральных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре натуральных чисел   и   сопоставляет число  , обладающее следующим свойством:

• .

Разность натуральных чисел выполнима только когда   и единственна. Расширение натуральных чисел за счёт свойств сложения и вычитания приводит к понятию целых чисел.