46. Функции нескольких переменных (Определение, примеры).

Пусть даны множества D  Rⁿ и I  R.Определение. Если каждой точке   множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция n переменныху=f(x₁, …, x_n). Множество D называется областью определения функции D(у)=D, множество I называется множеством значений функции I (у)= I. Пример.  -

-

47.Пределы функций нескольких переменных и их свойства.

П усть функция z = ƒ(х; у) определена в некоторой окрестности точки М₀(х₀;у₀), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z = ƒ (х; у) при х → х₀ и у → у₀ (или, что то же самое, при М(х; у) → М₀(х₀; у₀)), если для любого є > 0 существует d > 0 такое, что для всех х ≠ х₀ и у ≠ у₀ и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство | ƒ (х; у) — А| < є.

48.Частное и полное приращение функций нескольких переменных.

Пусть в некоторой области задана функция z = f (x, y). Возьмем произвольную точку M (x, y) и зададим приращение х к переменной х, оставляя значение переменной y неизменным. Тогда величина _x z=f (x + x, y) - f (x, y) называется частным приращением функции по х. Если существует предел , то он называется частной производной функции z=f (x, y) по переменной х и обозначается одним из следующих символов: ; z’_x; ; f’_x(x,y).Аналогично определяется частная производная функции по у, то есть _y z=f (x,y + y) - f (x, y) – частное приращение функции по y. А предел называется частной производной функции z=f (x, y) по переменной Y и обозначается одним из следующих символов: ; z’_y; ; f’_y(x,y). Для функции z=f (x, y) выражение z=f (x+x, y+y) - f (x, y)называется полным приращением.

49.Непрерывные функции нескольких переменных, их свойства. Функция z = ƒ(х;у) (или ƒ(М)) называется непрерывной в точке М₀(х₀;у₀), если она:а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

б) имеет предел

в) этот предел равензначению функции z в точке М_о, т. е.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z=ƒ(х;у) могут образовывать целые линии разрыва.

Обозначим Δх=х—х_0, Δу=у—у₀, Δz=ƒ(х;у)—ƒ(х₀;у₀). Величины Δх и Δу называются приращениями аргументов х и у, а Δz — полным приращением функции ƒ(х;у) в точке М₀(х₀;у₀).Функция z = ƒ(х;у) называется непрерывной в точке М₀(х₀;у₀) є D, если выполняется равенство т. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов х и у стремятся к нулю.

52.Полный дифференциал.

Полным дифференциалом функции z=f (x, y) называется главная часть полного приращения функции z, линейная относительно х и у, то есть dz= f’x(x, y)dx + f’y(x, y)dy или dz= dx+ dy Для функции трех переменных u=f (x, y, z) полный дифференциал находится по формуле: du= dx+ dy+ dz.