14. Скалярное произведение векторов. Его свойства.

Определение. Скалярным произведением двух n-мерных векторов  (а₁, а₂, ..., а_n) и  (b₁, b₂, ..., b_n) называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих координат. · =а₁·b₁+a₂·b₂+…+a_n·b_n.

Свойства скалярного произведения: 1.  · = ·  -коммутативность;2.  ·( + )= · + ·    - дистрибутивность;3. k·( · )=(k· )· ,4.  · = ² ,  ²=0 .

15.Векторное произведение векторов. Его свойства.

Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).

      

 Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е. 

3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k (см. рис. 18):i х j = k,    j х k = i,    k х i = j. 

Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. (а хb ) = (а ) х b = а х (b ).

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a+b) хс= ахс+b хс.

16.Смешанное произведения векторов.

Рассмотрим произведение векторов а, b и с, составленное следующим образом: (ахb )•с. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторноскалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число. Геометрический смысл выражения (ахb )*с - смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

17.Общее уравнение плоскости.

 Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению: Ax + By + Cz + D = 0, где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

18.Уравнение плоскости проходящей через три точки и в отрезках.

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(x0, y0, z0) и вектора нормали плоскости n = {A; B; C} можно использовать следующую формулу.

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой.

Если заданы координаты трех точек A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле

x - x1 y - y1 z - z1 = 0

x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1

x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1