5.Элементарные преобразования матрицы.

Определение. Элементарными преобразования-минад матрицей называются: 1)            умножение любой строки на число, отличное от нуля; 2)            прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой, умноженных на одно и то же число;3)            перестановка строк; 4)             отбрасывание строки из нулей. Определение. Две матрицы называются эквивалентными (А~В), если от одной можно перейти к другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.

6.Ранг матрицы. Правило вычисления ранга матрицы.

Пустьданапроизвольная матрица размером m_xn. Возьмемпроизвольные k строки kстолбцов,  .Минором порядка k называют определитель порядка k, составленный из элементов, расположенных на пересечении выбранных k строк и k столбцов, и обозначают M_k.

Д ля данной матрицы можно составить m · n миноров первого порядка,   миноров второго порядка и т.д.,   миноров k-го порядка.

Определение 1. Рангом матрицы называется максимальный порядок минора, отличного от нуля, и обозначается r(A). Очевидно,что  .

Определение 2. Отличный от нуля минор порядка r=r(A) называется базисным минором матрицы А, а строки (столбцы), в которых он расположен, называют базисными строками (столбцами).Теорема 1 (теорема о базисном миноре). Любой столбец (строка) матрицы А являетсялинейной комбинацией ее базисных столбцов (строк).Теорема 2. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы.Для того чтобы найти ранг матрицы, необходимо с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду и найти ранг полученной матрицы.

7.Системы линейных уравнений

 Определение 1. Система вида

называется системой m линейных уравнений с n неизвестными, где x₁, x₂, …, x_n - неизвестные,a_ij, i= , j=  - коэффициенты при неизвестных, b₁, b₂, …, b_m - свободные члены.Определение 2. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, и неоднородной - в противном случае.Oпределение 3. Решением системы называется совокупность из n чисел с₁, с₂, …, с_n, при подстановке которой в систему вместо неизвестных будет получено m числовых тождеств. Определение 4. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.При изучении систем исследуют три вопроса:1)     совместна система или нет;2)     если система совместна, то является ли она определенной или неопределенной;3)      нахождение единственного решения в случае определенной системы и всех решений в случае неопределенной.

9. Решение произвольных систем линейных уравнений.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными(1):

:

В матричной форме система (1) имеет вид АХ = В, где А=  - матрица коэффициентов системы;

Х =   - матрица-столбец переменных;

В =   - матрица-столбец свободных членов.

Решением системы (1) называется всякий вектор  , координаты которого обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система уравнений называется несовместной, если она не имеет ни одного решения.Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

10.Теорема Кронекера-Капелли. Неоднородная система линейных уравненийсовместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, равен рангу расширенной матрицы.Доказательство. Необходимость. Пусть система совместна, тогда найдутся числа с₁, с₂, …, с_n, при подстановке которых в систему мы получим m тождеств, которые можно записать в виде одного векторного тождества:

С ледовательно, вектор-столбец свободных членов является линейной комбинацией векторов-столбцов матрицы А, тогда добавление его к системе векторов-столбцов матрицы А не меняет ранга системы. Отсюда r(A)= .Достаточность. Пусть r(A)= =r. Следовательно,существует линейно независимая подсистема из r векторов-столбцов матрицы A. Она же будет содержатся и в матрице  . Так как эта система максимальна, то вектор-столбец свободных членов будет выражаться через эти r векторов-столбцов. Следовательно, вектор-столбец свободных членов можно представить в виде линейной комбинации всех векторов-столбцов матрицы А, т.е. найдутся числа с₁, с₂, …, с_n такие, что вектор-столбец будет представлен в виде

.Следовательно, числа с₁, с₂, …, с_n являются решением системы, т.е. она совместна.