93.Линейные однородные дифференциальные уравнения. Решение уравнения.

имеет вид a (x) y' + b (x) y + c(x) = 0  (1)  a (x)  0 .Разделим обе части уравнения на a(x). y' + p(x) y + q(x) = 0, где p(x) =     ,    q(x) =       (2).

Будем искать решения уравнения (2) в виде произведения двух неизвестных функций: y = u·v.Подставим y = u·v в (2) ,   (3).Выберем функцию u так, чтобы  : , , , , .Подставим полученную функцию u(х) в (3) и найдем (х).Подставим функции u(х) и (х) в выражение для у:  - общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.

8. Формулы Крамера

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Описание метода

Д ля системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов).

19. Параметрическое и каноническое уравнение прямой.

Пусть прямая проходит через точку M₁ (x₁, y₁, z₁) и параллельна вектору  (m ,n, l). Составим уравнение этой прямой.  - каноническое уравнение прямой в пространстве.

Пусть прямая проходит через две точки M₁ (x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂).Составим ее уравнение. - уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

26. Функция. Характеристики поведения. Сложная функция.

Пусть Х и Y - некоторые множества.Определение. Если каждому элементу xХ ставится в соответствие по некоторому правилу единственный элемент yY , то говорят, что на множестве Х задана функция (отображение) со значениями в множестве Y :f : XY,  y=f(x).Множество Х называется областью определения функции и обозначаетсяDom(f) или D(f), множество Y называется множеством значений функции и обозначается  Im(f)  или  I(f).

Основные характеристики функции1. Функция у=ƒ(х), определенная на множестве D, называется четной, если " xΠD выполняются условия -хєD и ƒ(-х)=ƒ(х); нечетной, если " xєD выполняются условия -хєD и ƒ(-х)=-ƒ(х).График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной — относительно начала координат.2.  Пусть функция у=ƒ(х) определена на множестве D и пусть D ₁єD. Если для любых значений х ₁;x₂єD₁ аргументов из неравенства x₁<x₂ вытекает неравенство: ƒ(x ₁)<ƒ(х₂), то функция называется возрастающей на множестве D ₁; f(x₁) ≤ ƒ(х₂), то функция называется неубывающей на множестве D₁; f(x₁)>ƒ(х₂), то функция называется убывающей на множестве D₁; ƒ(х₁)≥ƒ(x₂), то функция называется невозрастающей на множестве D₁.

Пусть функция у=ƒ(u) определена на множестве D, а функция u= φ(х) на множестве D₁, причем для " xΠD₁соответствующее значение u=φ(х) є D. Тогда на множестве D ₁ определена функция u=ƒ(φ(х)), которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).Переменную u=φ(х) называют промежуточным аргументом сложной функции.

35. Дифференцирование тригонометрических и обратных им функций.