87.Знакочередующийся ряд. Теорема Лейбница.

Знакопеременный ряд, у которого соседние члены имеют противоположные знаки, называется знакочередующимся. Общий вид знакочередующегося ряда: .

Теорема (достаточный признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда). Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда   для любых n монотонно убывают, т.е.   и предел n-го члена с ростом n стремится к нулю  , то ряд сходится.

88.Степенной ряд. Теорема Абеля.

Функциональный ряд, расположенный по положительным возрастающим степеням переменной х, называется степенным рядом.

 где   - некоторые числа.

Первая теорема Абеля: Пусть ряд   сходится в точке  . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге   и равномерно по   на любом компактном подмножестве этого круга.Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при  , он расходится при всех  , таких что  . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга   (возможно, нулевой или бесконечный), что при   ряд сходится абсолютно (и равномерно по   на компактных подмножествах круга  ), а при  — расходится. Это значение   называется радиусом сходимости ряда, а круг   — кругом сходимости.

89.Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Теорема. Для любого степенного ряда существует число   такое, что при  ряд сходится, при   ряд расходится, при   вопрос открыт. .Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, (-R;R) - интервал сходимости степенного ряда.

90. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решения.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

a (x) y' + b (x) y + c(x) = 0,                         (1)

  a (x) ¹ 0 .

Разделим обе части уравнения на a(x).

y' + p(x) y + q(x) = 0, где p(x) =     ,              q(x) =       (2).

Будем искать решения уравнения (2) в виде произведения двух неизвестных функций:

y = u·v.

Подставим y = u·v в (2)

,

                                     (3).

Выберем функцию u так, чтобы  :

,

, , Подставим полученную функцию u(х) в (3) и найдем n(х):Подставим функции u(х) и n(х) в выражение для у:

 - общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.

91.Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.  Дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными называют уравнения вида

X₁(x) Y₁(y)dx + X₂(x) Y₂(y)dy = 0.Перенесем второе слагаемое в правую часть.X₁(x) Y₁(y)dx = -X₂(x) Y₂(y)dy .

Предположим, что Y₁(y) X₂(x) ¹ 0. Разделим обе части уравнения на это произведение:

.Переменные разделились. Интегрируя обе части этого равенства, получим общее решение уравнения:

.

92.Однородные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если правая часть удовлетворяет соотношению для всех значений t. Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к переменным x и y:

Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде или через дифференциалы: где P(x,y) и Q(x,y) − однородные функции одинакового порядка.