80. Двойной интеграл.

Двойным интегралом называют кратный интеграл с d=2.

Здесь

В прямоугольных координатах: , где — элемент площади в прямоугольных координатах.

Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть функция f(x,y) принимает в области D только положительные значения. Тогда двойной интеграл численно равен объему V вертикального цилиндрического тела, построенного на основании D и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности z=f(x,y) .

Выражение двойного интеграла через полярные координаты

В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.

Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

Модуль якобиана отображения равен r. Таким образом получаем, что

= .

Здесь является элементом площади в полярных координатах.

81.Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению двух определенных интегралов, а те, в свою очередь, сводятся к вычислению повторного интеграла.

Замена переменной в двойном интеграле.Замена переменной в интеграле  состоит в переходе переменных x и y к новым переменным u и v, связанных со старыми соотношениями  Вычисление двойных интегралов с помощью двойного интегрирования.Пусть функция f(x, y) непрерывна^*) в области G. Если G прямоугольник, то для вычисления двойного интеграла, имеет место формула которая показывает, что порядок интегрирования можно менять.

82.Числовой ряд, сумма ряда.

Пусть дана последовательность действительных положительных чисел .Определение . Выражение вида наз-тся числовым рядом с положительными членами.Определение . Сумма первых   членов числового ряда называется  -й частичной суммой ряда и обозначается  .Определение. Если существует конечный предел частичных сумм  , то числовой ряд называется сходящимся и его сумма равна значению этого предела, иначе ряд называется расходящимся.Свойства числовых рядов:Теорема 1. Если ряд   сходится и с - некоторое число, то сходится и ряд  , причем выполняется равенство Теорема 2. Пусть ряды   и   сходятся, тогда сходится ряд  , причем = + .Теорема 3. Сходимость ряда не изменится, если в нем отбросить конечное число членов.

83.Необходимое условие сходимости ряда.

Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при  .Доказательство. Пусть ряд  сходится. Докажем, что  . , .

Вычтем эти равенства: .Так как ряд сходится, то  . .Полученный признак не является достаточным, т.е. из того, что   не следует, что ряд сходится. Этот признак поможет установить расходимость ряда: если признак не выполняется, то ряд расходится.

84.Признаки сравнения. Признак Даламбера.

Теорема (признак сравнения). Если члены двух числовых рядов   и   удовлетворяют неравенству   для любых n, то из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда. Из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

Теорема(признак Даламбера). Если для числового ряда   существует конечный предел отношения последующего члена ряда к предыдущему , то:а) при   ряд сходится;б) при   ряд расходится;в) при   вопрос о сходимости открыт.

85.Признаки сравнения. Признак Коши.

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд  . Если существует предел:  , то:а) При   ряд сходится. В частности, ряд сходится при  .б) При   ряд расходится. В частности, ряд расходится при  .в) При   признак не дает ответа. 

86.Интегральный сходимости знакопостоянных рядов.

Интегральный признак Коши .Пусть   - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x), аналогичную функции  . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на интервале  , где  ). Тогда в случае сходимости несобственного интеграла   сходится исследуемый числовой ряд. Если же несобственный интеграл расходится, то исходный ряд тоже расходится.