72.Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда 

Для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разностьF (b) – F (a).

73.Приложения определенного интеграла к решению геометрических и механических задач.1. Вычисление площадей фигур, расположенных под (над) графиком функции на некотором отрезке. Это приложение вытекает из геометрического смысла определенного интеграла  S = .    2. Вычисление площади фигур, ограниченных графиками двух функций на некотором о трезке.S=S₂-S₁= = , где S₁ и S₂ - площади криволинейных трапе ций под графиками функций  y=f₁(x) и  y=f₂(x).3. Вычисление объемов тел, полученных от вращения графика функции вокруг оси ОX.   .4. Вычисление объемов тел, полученных от вращения графика функции вокруг оси ОY.

,   где  x = f ^-1 (y) - обратная функция к функции  y = f(x).

                                                                                                                                

74. Несобственные интегралы первого рода

 

Пусть функция  y = f(x)  определена и непрерывна на [a,¥).Рассмотрим интеграл .Вычисление несобственного интеграла можно свести к вычислению обычного определенного интеграла и нахождению предела ( ). Если предел, стоящий справа, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся и он равен значению этого предела. В противном случае интеграл называется расходящимся.

Пусть F(x) – одна из первообразных  f(x),  тогда .

Обозначим  .

Тогда  F(¥)-F(a) - обобщенная формула Ньютона - Лейбница (для вычисления несобственного интеграла).

75.Несобственные интегралы второго рода

 Если функция не ограничена на промежутке интегрирования и промежуток интегрирования конечен, то определенный интеграл является несобственным интегралом второго рода.

1. Пусть функция  y = f(x)  определена и непрерывна на [a,b) и в точке b функция не ограничена.

.

 

Если предел, стоящий справа, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся и равен значению этого предела, в противном случае интеграл называется расходящимся.

 Если F(x)  первообразная функции, то 2.Пусть функция  y = f(x) определена и непрерывна на [a,c)È(c,b], и в точке с функция терпит разрыв второго рода. .

Если оба предела, стоящие в правой части, существуют и конечны, то несобственный интеграл называется сходящимся и он равен сумме этих пределов, в противном случае – расходящимся.

Замечание 1. Несобственные интегралы могут быть комбинированного типа: п ервого и второго рода; или второго рода с несколькими точками разрыва второго рода.

Замечание 2. Если функция на отрезке интегрирования терпит разрыв первого рода в точке с, то определенный интеграл от нее по этому отрезку не является несобственным, т.е. его можно свести к сумме двух обычных определенных интегралов.

.             

76.Длина дуги кривой.

Если плоская кривая задана уравнением  y=f(x) её длина равна: В полярных координатах 

Если дуги пространственной кривой заданы параметрически уравнениями x= x(t), y=y(t), z= z(t) при изменении t от а до b имеем:

77.Вычисление площадей в прямоугольных координатах.

Отметим,что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (ƒ(х) < 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

или Площадь фигуры, ограниченной кривыми у =  = fι(x) и у = ƒг(х), прямыми х = а и х = b (при условии ƒ₂(х) ≥ ƒ₁(х)) можно найти по формуле

78.Вычисление объема тела.

Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ох: S = S(x), а ≤ х ≤ b.

79.Объем тела вращения.

Вычисление объема тела сводится также к вычислению определенного интеграла. Пусть рассматриваемое тело Е получается от вращения данной кривой y=f(x), заданной на сегменте [a,b], вокруг оси Ох. Обозначим через V объем данного тела. Разобьем тело поперечными сечениями, перпендикулярными к оси Ох, начиная от х=а и кончая х=b.

Очевидно поперечные сечения - круги радиуса у. Рассмотрим один из элементов Е, образованный сечениями с абсциссами х и х + х. Будем считать, что х достаточно мало и заменим объем тела Е объемом прямого цилиндра, высота которого x,а площадь основания S(x) = П f ²(x) и, следовательно, для объема V тела получим приближенное выражение (суммирование берется по всем элементам, на которые наше тело разбито поперечными сечениями). При переходе к пределу, когда число элементов беспредельно возрастает и наибольшее из , написанная сумма превращается в определенный интеграл, который дает точное значение объема V,

Теорема. Объем тела, получаемого при вращении вокруг оси Ох кривой y=f(x), заключенный между ординатами х=а и х=b, выражается формулой