68. Верхние и нижние интегральные суммы.

Пусть функция f(x) ограничена на сегменте [a, b] и T - разбиение этого сегмента точками a = x₀ < x₁ <...< x_n = b.Обозначим через M_i и m_i соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте [x_i-1, x_i]. Суммы и верхней и нижней суммами функции f(x) для данного разбиения T сегмента [a, b]. Понятия верхней и нижней сумм становятся особенно ясными, если обратиться к геометрическим представлениям. Рассмотрим положительную и непрерывную функцию f(x) и криволинейную трапецию, определяемую этой функцией (см. Рис. 1. и Рис. 2.).

          

69.Определенный интеграл, его свойства и простейшие методы интегрирования.Пусть функция  у = f(x) определена, непрерывна (следовательно, ограничена) на [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] на n произвольных частей точками a = x₀ x₁   x₂   …  x_n  = b.Длину   i -го отрезка разбиения обозначим х_i = x_i  - x_i-1, i =  .Внутри i -го отрезка разбиения выберем  по произвольной точке с_i и составим сумму (1) Определение . Сумма вида (1) наз-тся интегральной суммой функции f(x) по отрезку [a,b].Определение. Если существует конечный предел интегральных сумм вида (1) при уменьшении длин отрезков разбиения, то он не зависит от способов разбиения отрезка. Этот предел наз-тся определенным интегралом от f(x) по отрезку [a,b] и обозначается 

Теорема(Коши). Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл

Свойства:1. Определенный интеграл не зависим от обозначения переменной интегрирования: 2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: 3. Для любого действительного числа с. Простейшие методы интегрирования:1.Интегрирование подстановкой (заменой переменной) 2. Интегрирование по частям.Если функции u = u(х) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а; b], то имеет место формула  

70.Основные свойства определенного интеграла

1. Если  y=f(x)  интегрируема по большему из  промежутков [a,b], [a,с], [с,b], то она интегрируема по двум другим промежуткам, причем выполняется равенство независимо от расположения точек а, b, c

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. 3.

71.Геометрический и физический смысл определенного интеграла.

Пусть функция  у = f(x) определена и непрерывна на [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] на nчастей точками, в каждом отрезке разбиения возьмем по точке с_i  и составим интегральную сумму . (1) Интегральная сумма равна площади ступенчатой фигуры, вписано–описанной около графика функции. При измельчении длин отрезков разбиения площадь этой фигуры будет неограниченно приближаться к площади фигуры, заключенной между графиком функции и осью  ОХ  на отрезке [а,b].

                                                                                       

  -определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, заключенной между графиком функции и осью  ОХ  на отрезке [a,b].