61.Простейшие приемы интегрирования. Интегрирование способом замены переменной.

Пусть требуется найти интеграл , причём первообразную для мы подобрать не можем. Значит воспользуемся заменой. Метод интегрирования подстановкой (замены переменной) заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Сделаемподстановку   где   — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда   и получаем формулу интегрирования подстановкой:

64.Интегрирование рациональных функций

 Определение. Функция называется рациональной, если ее можно представить в виде дроби ,где P(x)  и  Q(x) – многочлены.Из класса всех дробей выделяют основные простые дроби:

где a, p , q, M, N R , k N. Интегралы от первых двух типов простых дробей находятся с помощью подстановки t = x-a:

= .

Интеграл от третьего типа простых дробей рассмотрим в предположении, что знаменатель не имеет корней, т.е.q - p² >0. Выделим полный квадрат в знаменателе

,где a² = q - p² >0.

Если степень числителя выше степени знаменателя, то дробь называется неправильной; в таком случае выполнив деление, получим ,где W(х) - некоторый многочлен, а второе слагаемое представляет собой правильную дробь, у которой степень числителя меньше степени знаменателя. Например, рассмотрим неправильную дробь

65. Интегрирование иррациональных функций.

Интеграл вида R , где R - рациональная функция, с помощью подстановки =t приводиться к интегралу от рациональной функции от t и, следовательно, является берущимся.

Интеграл R(x, )dx сводиться к интегралу от рациональной функции с помощью одной из следующих подстановок:

1. Если a0, то = t

2. Если c0, то = tx

3. Если ax²+bx+c = a(x – x₁)·(x – x₂), то = (x – x₁)t.

Здесь t – новая переменная .

66. Интегрирование тригонометрических функций.  

1. Интегралы от произведений синуса и косинуса разных аргументов.

 sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx cos nx dx.Данные интегралы сводятся к табличным с помощью формул преобразования произведения в сумму:

2. Интегралы от степеней  синуса  и  косинуса   одного аргумента.

 sin^m x cosⁿ x dx.1) Если хотя бы одно из чисел m и  n нечетно, то от нечетной степени отделяют один сомножитель и вносят его под знак дифференциала. Подынтегральную функцию приводят к одной из тригонометрических функций.2) Обе степени четные. В этом случае применяют формулы понижения степени до тех пор, пока не появятся нечетные степени тригонометрических функций.

3. Интегралы от рациональной функции, содержащей синус и косинус.

Рассмотрим интеграл вида Этот интеграл рационализируется универсальной подстановкой

67.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Пусть функция  у = f(x) определена, непрерывна (следовательно, ограничена) на [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] на n произвольных частей точками a = x₀ x₁   x₂   …  x_n  = b.Длину   i -го отрезка разбиения обозначим х_i = x_i  - x_i-1, i =  .Внутри i -го отрезка разбиения выберем  по произвольной точке с_i и составим сумму

 Определение . Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции f(x) по отрезку [a,b].Определение. Если существует конечный предел интегральных сумм вида (1) при уменьшении длин отрезков разбиения, то он не зависит от способов разбиения отрезка. Этот предел наз-тся определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обоз-тся  .

.