55.Экстремум функции нескольких переменных. 56.Необходимые и достаточные условия существования безусловного экстремума.

Определение. Точка (x₀, y₀) называется точкой локального максимума (минимума) функции, если найдется некоторая окрестность данной точки, для всех точек которой выполняется условие   ( ).Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема(необходимое условие экстремума функции). Если точка (x₀, y₀) является точкой локального экстремума функции, то в этой точке частные производные равны нулю или не существуют.Теорема(достаточное условие экстремума функции). Пусть функцияz=f(x,y) определена в некоторой окрестности критической точки (x₀, y₀), в которой частные производные равны нулю:  ,  ;в этой точке функция имеет непрерывные частные производные второго порядка , , .

Тогда если =AC-B²>0, то в точке (x₀, y₀) функция имеет экстремум, причем если А<0 - максимум, если А>0 - минимум. В случае=AC-B²<0 функция экстремума не имеет. Если =AC-B =0 , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

58.Первообразная.

Определение . Первообразной функцией F(x) дляфункции f(x) называется функция,производная которой равна исходной функции.(F(x))' = f(x).

Теорема (теоремаКоши). Любая непрерывная на некотором множестве функция имеет на этом множестве первообразную.

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) - две первообразные для функции f(x), то они отличаются на постоянное слагаемое.

59.Неопределенный интеграл и его свойства.

Определение. Совокупностьвсех  первообразных данной непрерывной функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается  f(x)dx,где f(x) именуется подынтегральной функцией, выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.Если F(x) - некоторая первообразная данной функции, то f(x)dx = F(x) + C,  где   C - произвольная постоянная.Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием данной функции, или взятием интеграла от данной функции.

Теорема1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции,дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.  f(x)dx)' = (F(x) + c)' = f(x),d f(x)dx) =  f(x)dx)' dx = f(x)dx.

Теорема 2. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.Доказательство. d f(x) = f'(x)dx = f(x) + C.Из теорем 1 и 2 следует, что операции дифференцирования и интегрирования являются взаимнообратными.

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Теорема 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

60. Простейшие приемы интегрирования. Интегрирование по частям.

Теорема.Пустьфункции u и υ определены и дифференцируемы на некотором промежутке Т и функция du·υимеет на этом промежутке первообразную. Тогда функция u·dυ также имеет первообразную на промежутке Т, причем справедлива формула

udυ = uυ - υdu. Доказательство. Найдем дифференциал от их произведения  u · υ.

d(uυ) = du·υ + u·dυ.Проинтегрируем обе части этого равенства.

d(uυ) = (du·υ + u·d υ).

uυ =  υdu +  udυ,

 udυ = uυ - υdu  -  формула интегрирования по частям.

С помощью этой формулы первообразная частично находится, и оставшиеся интегральные слагаемые, как правило, - проще исходного интеграла.