3. Действия над событиями.

Сумма двух событий А и В – есть событие С, состоящее в появлении или события А, или В, или А и В одновременно. Сумма нескольких событий есть наступление хотя бы одного из них.

Произведением двух событий А и В есть событие С, состоящее в одновременном появлении и события А и события В.

Разность двух событий – событие С, состоящее в появлении события А, но не В.

4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Д-во: пусть в рез-те испытания из общего числа n равновозможных и несовместных исходов испытания событию А благоприятствует m1 случаев, а событию В – m2 случаев.

Т.к. А и В несовместные, то один из случаев, благоприятствующий одному их этих событий, не благоприятствует другому. Поэтому событию А+В будет благоприятствовать m1+m2 случаев.

Следствие 1: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие 2: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна единице.

Следствие 3: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что все предыдущие события имели место.

Р(АВ)=Р(А)Р(В|А)=Р(В)Р(А|В), если события А и В независимы.

Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

5. Независимые и зависимые события. Условная вероятность.

События называются независимыми, если появление одного события не зависит от появления другого. Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет.

Условная вероятность Р(В|А) это вероятность события В, при условии, что событие А уже произошло.

(док-во теоремы умножения)Пусть из общего числа n развновозможных и несовместных исходов испытания событию А благоприятствует m случаев, событию В – k случаев, а совместному появлению событий А и В, т.е. событию АВ – l случаев(l≤m, l≤k)

P(A) = P(AB) = после того как событие А произошло, число всех равновозможных исходов сократилось с n до m, а число случаев, благоприятствующих событию В с k до l.

Р(В|А) = или Р(АВ)=Р(А)Р(В|А)=Р(В)Р(А|В).

6.Формула полной вероятности. Теорема Байеса.

Если событие А может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) Н1,Н2…, образующих полную группу, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующие условные вероятности события А:

Р(А) = , где Р(А) – полная вероятность события А; Р(Нi) – вероятность события Нi, при которой может произойти событие А; Р(А|Нi) – вероятность события А, вычисленная при условии наступления гипоетзы Нi.

Д-во: по условию события Н1, Н2… образуют полную группу событий, следовательно, они единственно возможные и несовместные. Так как гипотезы Н1, Н2… - единственно возможные, а событие А по условию может произойти только вместе с одной из гипотез, то А = А*Ω=А(Н1+Н2…) = А*Н1+А*Н2… В силу того, что события Н1, Н2… несовместны, можно применить теорему сложения вероятностей: Р(А)=Р(АН1)+Р(АН2)…= и по теореме умножения вероятностей получаем:

Теорема Байеса.

Следствие формулы полной вероятности и теоремы умножения. Применяется, когда событие А, которое может произойти только вместе с одним из событий Н1, Н2… УЖЕ произошло. Т.е. нужно найти условные вероятности событий Р .

Формула Байеса:

Д-во: для получения искомой формулы запишем теорему умножения вероятностей событий А и Нi двух формах: P(AHi)=P(A)P(Hi|A)=P(Hi)P(A|Hi), откуда P(Hi|A)= , и с учетом формулы полной вероятности .