1. Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и их классификация.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая количественные закономерности массовых случайных явлений (явлений с неопределенным исходом).

Вероятностные представления о мире появились у Демокрита, Эпикура, развивались с азартными играми. Наука получила развитие в 19 в. В России – Лобачевский, Буняковский, Остроградский – сер. 19 в. В 1933 г. «Основные понятия теории вероятности» А.Н.Колмогоров.

Опыт – физический процесс, существующий или созданный, протекающий при некотором комплексе условий.

Событие – факт, который может произойти/не произойти в результате опыта при выполнении комплекса условий.

Событий: достоверные(точно произойдет), невозможные(точно не произойдет); случайные: несовместные(одно исключает появление другого), совместные(не исключает); единственно возможные; противоположные: зависимые (одно зависит от появления другого), независимые(не зависит).

Пространство элементарных событий Ω - множество всех взаимно или попарно исключающих друг друга исходов случайного эксперимента, которые вместе образуют полную группу событий.

Элемент этого множества ω ∈ Ω называется элементарным событием или исходом. Пространство элементарных событий называется дискретным, если число его элементов конечно или счётно. Любое пространство элементарных событий не являющееся дискретным, называется недискретным.

2. Вероятность события. Классическое, статистическое и геометрическое определения.

Классической вероятностью события А называется отношение числа благоприятных исходов (m) к общему числу несовместных единственно возможных и равно-возможных исходов (n):

где Р(А) – вероятность события А; m – число исходов, благоприятствующих событию А; n – общее число исходов.

С войства классической вероятности:

- вероятность достоверного события равна 1, т.е.

- вероятность невозможного события равна 0, т.е Р(Ø) = 0;

- вероятность случайного события заключена в интервале (0,1), т.е

События, вероятности которых очень малы (близки к нулю) или очень велики (близки к единице), называются соответственно практически невозможными или практически достоверными событиями.

Недостатки определения :

- жесткие требования на первоначальный комплекс условий;

- конечное число исходов.

С татистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.

где – статистическая вероятность события А;

ω(A) – относительная частота (частость) события А;

m – число испытаний, в которых появилось событие А;

n – общее число испытаний.

Условия применимости статистического определения вероятности

1. Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

2. События должны обладать так называемой статистической устойчивостью.

Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота (частость) события изменяется незначительно (тем меньше, чем больше число испытаний), колеблясь около постоянного числа, которым является вероятность.

Теорема Бернулли: если при каждом из n независимых испытаний вероятность некоторого события равна р, то вероятность того, что частота m/n появления события удовлетворяет неравенству |m/n - p| < e (e — произвольно малое положительное число), становится сколь угодно близкой к единице при достаточно большом числе n испытаний.

3. Число испытаний, в которых появляется событие А, должно быть достаточно велико, ибо только в этом случае можно считать вероятность события Р(А) приближенно равной ее относительной частоте.

Так, если можно в неизменных условиях провести неограниченное число независимых испытаний, причем частота появления события А для каждой большой группы испытаний лишь незначительно будет отклоняться от некоторой постоянной, то эта частота или число, близкое к ней, может быть приближенно принято за численное значение этой постоянной или, иначе, за вероятность события А.

Определенная таким образом вероятность называется статистической вероятностью.

Свойства вероятности следующие из ее классического определения сохраняются и при статистическом определении.

Недостатки определения:

- классическую вероятность можно определить до опыта, а статистическую вероятность – только после опыта, по его результатам;

- конечное число событий.

Г еометрической вероятностью события А – называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А к мере всей области:

где mes d - мера благоприятной области;

mes D - мера всей области.

Мера – способ сопоставления множеству неотрицательного числа (называемого мерой этого множества), удовлетворяющий определенным аксиомам, например: мера пустого множества равна нулю, мера объединения непересекающихся множеств должна равняться сумме их мер.

Частным случаем меры является мера Лебега для подмножеств R n, обобщающая понятие объема (площади или длины) на случай множеств более общих, чем просто ограниченных гладкой поверхностью.

В простейшем случае мерой является площадь геометрической фигуры.