Тема 6. Финансовая эквивалентность обязательств

1. Принцип финансовой эквивалентности

2. Консолидация задолженности

3. Общая постановка задачи изменения контракта

Часто возникают случаи, когда необходимо заменить одно обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т.п. Такие изменения основываются на принципе финансовой эквивалентности обязательств.

Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи приведенными к одному моменту времени оказываются равными.

Наиболее простое проявление принципа финансовой эквивалентности отражено в формулах, связывающих P и S.

Суммы S₁ и S₂, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные стоимости, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы.

Для случая простых процентов

. (6.1)

Для случая сложных процентов

. (6.2)

Пример 6.1. Имеются 2 обязательства. По первому необходимо выплатить 400 тыс.руб. через 4 месяца, по второму – 450 тыс.руб. через 8 месяцев. Можно ли считать их равноценными, если по ним выплачивается 20% простых в год?

=375,00 тыс.руб.

=397,06 тыс.руб.

Р₁ ≠ Р₂, таким образом, сравниваемые обязательства нельзя считать эквивалентными.

Найдем такую процентную ставку, которая делала бы эти платежи эквивалентными. Из формулы (6.1) выразим i:

. (6.3)

Данное значение i₀ является барьерным, т.е. для случая, когда S₁ < S₂ и n₁ < n₂:

1. при i < i₀ Р₁ < Р₂ ;

2. при i > i₀ Р₁ > Р₂ ;

3. при i = i₀ Р₁ = Р₂ .

Рассчитаем для данных примера 5.1:

=0,428.

Для сложных процентов из формулы (6.2) выразим i₀:

. (6.4)

Консолидация задолженности

Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является объединение (консолидация) платежей.

Пусть платежи S₁, S₂, S_m со сроками n₁, n₂, n_m заменяются на консолидированный платеж S₀ со сроком n₀. В этом случае возможны две постановки задачи: если задается срок n₀, то находится сумма консолидированного платежа S₀, и наоборот, если задана сумма S₀, то определяется срок n₀.

Определение размера консолидированного платежа S₀

Для n₁ < n₂ < … < n_m величину S₀ находим как сумму наращенных и дисконтированных платежей.

При применении простых процентов получим

, (6.5)

где S_j – размеры объединяемых платежей со сроками n_j < n₀;

S_k – размеры объединяемых платежей со сроками n_k > n₀;

t_j = n₀ – n_j, t_k = n_k – n₀.

При применении сложных процентов получим

. (6.6)

Определение срока консолидированного платежа n₀

При применении простой ставки срок консолидированного платежа n₀ находится из уравнения эквивалентности

,

откуда

. (6.7)

Из формулы (6.7) видно, что размер заменяющего платежа не может быть меньше суммы современных стоимостей заменяемых платежей (S₀> ).

При применении сложной ставки срок консолидированного платежа n₀ находится из уравнения эквивалентности

,

откуда

, (6.8)

где Q = .

Для случая простых процентов также размер заменяющего платежа не может быть меньше суммы современных стоимостей заменяемых платежей (S₀>Q).

В частном случае, когда S₀=Q, для определения n₀ применяют средний взвешенный срок:

. (6.9)

Срок n₀, рассчитанный по формуле (6.9), приближенный, чем выше процентная ставка i, тем больше погрешность.